第9讲巧求轨迹方程

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1、第九讲•巧求轨迹方程【教学目标】掌握直接法、转移代入法题型的求轨迹的方法【知识、方法梳理】求轨迹是解析儿何一个很重要的题型，方法较多，难度较大。在此两讲中，我们将学习最为常见的儿种求轨迹的方法（直接法、转移代入法、几何定义法、综合法、点差法等）1・直接法直接法，又称“直译法”，是求轨迹最基本的方法，圆锥曲线的标准方程都是通过直接法得到的。解题步骤就是“建设现代化镇”（1）建系，H前大部分题冃都已经建好坐标系了，一般可以省略；（2）设点，直接设动点坐标为（x,y）；（3）写式，运用一定平面几何知识，写出题目屮动点满足的几何关系式；（4）代入，将动点坐标、己知数据全部代入关系式；（5）化简

2、，化简式子，注意等价性；（6）证明，证明轨迹的完备性和纯粹性，由于前儿步的等价性，所以现已省略此步。2•转移代入法转移代入法，也称“相关点法”。当动点是随着相关的点有规律的运动而运动时，可用此法。解题步骤：第一，需找到动点和相关点Z间的坐标关系，进行表示和反表示，就是坐标转移；第二，需找到相关点在运动时满足的那个关键式，代入关键式；第三，化简即可，注意范围。目前一般常见的题型有两种：一静一动类，双动类。参考后面的例题再加以说明。3•理解轨迹要明白轨迹的本质，其实就是所有满足条件的动点所构成的集合，也就是所有的那些动点的坐标都满足的那个方程。轨迹其实是由三部分组成：轨迹形状（一般无需说明

3、）、轨迹方程（最重要）、变量范围（容易遗漏）。该如何考虑轨迹的变量范围才不会遗漏呢？注意三个方面即可。（1）几何存在性，例如三角形三点不可共线，否则构不成三角形了；（2）代数式的有意义性，例如分母不为0、平方数必定为非负数等；（3）化简时的等价性，例如两边平方时，必须两边都为非负数等nlSMART精锐如【典例精讲】例1•动点M与距离为4的两个定点A、B满足MAMB=6,求动点M的轨迹方程【解析】：建立直角坐标系,设4(一2,0),B(2,0),再设M(兀,刃,则莎=(一2—兀,一刃，血二(2—兀,一刃，代入MAMB=6,化简后，可得动点M的轨迹方程x2+/=4【点评】：直接法。建系时，

4、如果有两定点时，一定要对称建系；向量往往与坐标法有关。例2•已知A(-2,-2),B(4,6),求使ABC的面积为20的动点C的轨迹方程【解析】：解法一:设C(x,y),根据MBC的行列式面积公式S=代入，得20=1,化简后，可得动点C的轨迹方程解法二:为:4兀一3)；+22=0或4兀一3『一18=0设C(x,y),根据题意，易得

5、AB

6、=10,匚：4兀一3y+2=0,又因为S*BC“，所叭十4,即“冷化简后，可得动点C的轨迹方程为：4兀一3『+22=0或4兀一3歹一18=0三角形的行列式面积公式考得较少，所以容易被忽视；在解本章题目时，往往都需要【点评】：直接法。先用一定的平面几何

7、知识来简化题目或者指引方向。例3.求到定点4(1,0)的距离与到定直线兀二3的距离之和是4的动点P的轨迹方程【解析】：设P(x,y)，根据题意，直接列式J(x-l)2+y2+

8、%-3

9、=4讨论：①当x>3时，J(x_l)2+y2=7_x两边平方，化简可得/=48-12%(3

10、了绝对值最根本的方法一分类讨论；还有一些学生一再忽视化简的等价性，不考虑变量的范围，这也是不行的。例4.两定点A(—2,0),B(l,0),动点P满足PA=2

11、PB

12、,求点P的轨迹方程【解析】：设P(x,y)，根据题意，直接列式7(x+2)2+/=2J(x-1)2+/,化简后，可得动点P的轨迹方程(x-2)2+y2=4【点评】：直接法。此题同上，不存在什么儿何定义，直接法就行，考查的就是学生的基本功。例5.已知动点P在椭圆話上，而定点Q(6,0),求PQ中点M的轨迹方程【解析】：设M(a,b),P(x,y),因为中点，所以兀=2d—6代入椭圆方程,得血国+凹Li,即1625425【

13、点评】：转移代入法(一静一动类)。设了两个点，找对坐标关系，千万别搞反了。例6•动点A在直线y=V3x上，动点B在直线y=-V3x±,且满足AB=4^,求中点P的轨迹方程【解析】：设P(a,b),,B(n厂羽n),m+n=2a因为中点，所以又因为

14、AB

15、=4a/3,所以，J(m—町2+(巧加+羽心2=彳命,2/厂代入化简，得到尹+3•心48,即亍知］【点评】：转移代入法(双动类)。关键还是，坐标转移，代入关键式。【双基训练】1.若等腰三角