2012考研数学模拟题带答案数学一

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1、2012年考研数学模拟试题（数学一）参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）1.设在内是可导的奇函数，则下列函数中是奇函数的是（）.（A）（B）（C）（D）解选择B.由题设知，为偶函数，故为奇函数.2.设则是的（）.（A）可去间断点（B）跳跃间断点（C）第二类间断点（D）连续点解选择B.，，故是的跳跃间断点.3.若函数与在内可导，且，则必有（）.（A）（B）（C）（D）解选择C.由函数与在内可导知，与在内连续，，，而，故.

2、4.已知级数和分别收敛于，则级数（）.【C】(A)不一定收敛(B)必收敛，和为(C)必收敛，和为(D)必收敛，和为解选择D.由级数收敛知，，设，的前项和分别为，则，，故，，所以，级数收敛，和为.5.设矩阵与相似，则（）.(A)3(B)4(C)5(D)6解选择A.矩阵与相似，则与相似，故.6.设3阶方阵的特征值是，它们所对应的特征向量依次为，令，则（）.（A）（B）（C）（D）解因为分别为的对应特征值的特征向量，故.7.设随机变量服从上的均匀分布，则与（）.（A）不相关（B）相关（C）独立（D）相关且不独立解选择A.经

3、计算得，，.8.设是取自正态总体一个简单随机样本，则下列结论中错误的是（）.（A）（B）（C）（D）解选择D.由一个正态总体的抽样分布知A，B，C都正确，，但是它们不独立，不能推出.二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）9.设函数具有连续偏导数，且，，则.解答案为.方程两边对求导，得，令，得，故.10.微分方程的通解为.解答案为..11.设，则.解答案为.12.设为锥面外侧，则.解答案为.关于面反向对称，关于为偶函数，故.13.设为阶矩阵，其伴随矩阵的元素全为1，则齐次方程组的通解为

4、.解答案为，为任意常数.由题设知，，，且，故的列向量是的基础解系.14.设随机变量与相互独立，且都服从正态分布，则.解答案为..三、解答题（本题共9小题，满分94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本题满分9分）设，而是由方程所确定的隐函数，其中具有连续偏导数，而具有连续导数，求.解取全微分，，故.16.（本题满分10分）设在上连续，且.⑴求；⑵设，求级数的和.解⑴令，则，故，即，上式两边对求导，得，即.⑵，级数，.17.（本题满分10分）设球体的各点密度与坐标原点到该点的距离成反比（比例系数），求球

5、体的质量及球体绕轴旋转的转动惯量.解由题设知，球体上任一点的密度，球体的质量.转动惯量.18.（本题满分11分）设函数在上连续，在内可导，且，证明：存在，使得.证令，则，由积分中值定理知，存在，使得，即，由罗尔定理知，存在，使得，即，即.19.（本题满分10分）（数学一）证明：在右半平面上，曲线积分与路径无关，并求一个二元函数，使得.证，，，在右半平面上，，故曲线积分与路径无关.解所求函数，取积分路径为到，再到的折线段，则.20.（本题满分11分）设二维随机向量联合概率密度为求⑴条件概率密度；⑵概率密度.解画出联合概

6、率密度的非零区域.⑴关于的边缘密度条件概率密度⑵的取值范围为当时，，当时，21.（本题满分11分）设是取自总体一个简单随机样本，的概率密度为，⑴求未知参数的矩估计量；⑵求未知参数的最大似然估计量.解⑴，令，所以的矩估计为.⑵似然函数，，解得，，所以的最大似然估计为.22.（11分）已知两个向量组与.⑴为何值时，两个向量组等价？⑵两个向量组等价时，求出它们之间的线性表示式.解⑴对矩阵作初等行变换，得，当时，，，可由线性表示，且，，可由线性表示，即两个向量组等价.⑵两个向量组等价时，，故，.23.（11分）已知二维向量不

7、是二阶方阵的特征向量.⑴证明线性无关；⑵若，求的全部特征值，并判断能否与对角矩阵相似.⑴证设，则，否则，是的特征向量，与题设矛盾，将代入，得，又，故，所以线性无关；⑵解或者，，又，故有一个特征值为，从而有一个特征值为，同理，有一个特征值为，从而有一个特征值为，故的特征值为和.由于二阶方阵有两个不同的特征值，故能与对角矩阵相似.