2012考研数学模拟题带答案数学三

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1、2012年考研数学模拟试题（数学三）参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）(1)设是微分方程的满足，的解，则（）（A）等于0.（B）等于1.（C）等于2.（D）不存在.解，将代入方程，得，又，，故，所以，选择B.（2）设在全平面上有，，则保证不等式成立的条件是（）（A），.（B），.（C），.（D），.解关于单调减少，关于单调增加，当，时，，选择A.（3）设在存在二阶导数，且，当时有，，则当时有（）（A）.（B）.（C）.（D）.解【利用数形结合】为奇函数，当时，的图形为递减的凹曲线，当时，的图形

2、为递减的凸曲线，选择D.(4)设函数连续，且，则存在，使得（）（A）在内单调增加（B）在内单调减少（C）对任意的，有（D）对任意的，有解【利用导数的定义和极限的保号性】，由极限的的保号性，，在此邻域内，，所以对任意的，有，选择D.（5）二次型的规范型是（）.（A）.（B）.（C）.（D）.解二次型的规范型由它的正负惯性指数确定，二次型的矩阵，其特征多项式，故的特征值为，正惯性指数，负惯性指数，选择D.（6）设，是三阶非零矩阵，且，则（）.（A）当时，.（B）当时，.（C）当时，.（D）当时，.解，，.当时，，，排除A，C，当时，，，，矛盾，排除D，选择B.（7）设

3、随机变量与分别服从和，且与不相关，与也不相关，则（）.（A）.（B）.（C）.（D）.解与不相关，与不相关，选择A.(8)设为来自总体的简单随机样本，为样本均值，为样本方差，则（）（A）.（B）.（C）.（D）.解，排除A，，排除B，，排除C，选择D.二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）（9）设，若与都存在，那么，.解当时，，当时，，存在，即，存在，即，解得.（10）.解由积分中值定理知，存在：，使得.（11）设由方程确定，且，则.解方程为，，，.(12)设的一个原函数，且，则.解，，，，又，故，，，，.（13）设矩阵，其中是维

4、列向量，且，则.解，故，所以.（14）设是来自正态总体的简单随机样本，，，，则统计量服从______.解设正态总体，，，，，，又，独立，.三、解答题（15-23题，满分94分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（15）（10分）设在上连续，且满足，求及其极小值.解令，，故，再令，即，对求导，得，故，当时，，当时，，所以，取得极小值.（16）（10分）设函数在上连续，在上二阶可导，且.证明：①在内至少存在一点，使得；②在内至少存在一点，使得.证①，由极限的保号性知，存在，当时，，，取，则，在上连续，又，，由零点定理知，存在，使得.②对在上用拉格朗日定理，存在，

5、使得，，再对在上用拉格朗日定理，存在，使得.（17）（10分）求微分方程的一个解，使得曲线与直线所围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体体积最小.解方程化为，其通解为，旋转体体积，，又，故，体积最小，所以.（18）（10分）计算，区域由曲线和轴围成.解画出区域的图形，单位圆将区域分成两部分，单位圆内的部分记作，单位圆外的部分记作，则，故.（19）（10分）求幂级数的收敛域及和函数.解收敛半径，当时，级数发散，当时，级数发散，故幂级数的收敛域为.其和函数，.（20）（11分）设是实对称矩阵，，的三个特征值之和为，且是方程组的一个解向量.①求矩阵；②求方程组的通解.解①

6、是方程组的一个解向量，即，又，故，所以是的对应特征值的特征向量；设的另外两个特征值为，则，解得，设对应的特征向量为，则它与正交，即，其基础解系为，令，则，所以②，，同解方程组为，通解为，其中为任意常数.（21）（11分）设n阶实对称矩阵的秩为，且满足，求①二次型的标准形；②行列式的值，其中E为单位矩阵.解设，则，又，故或者.由n阶实对称矩阵的秩为知，，分别为的重和重特征值，故存在正交矩阵，使得.①经正交变换，二次型的标准形为.②，故行列式.（22）（11分）已知随机变量与的联合概率分布为①证明与不相关的充分必要条件是事件与相互独立；②若与不相关，求与的边缘分布.解

7、由概率分布的性质知①与不相关的充分必要条件是，的概率分布为，，的概率分布为，，的概率分布为，，，故与不相关的充分必要条件是.事件与相互独立的充分必要条件是，，故事件与相互独立的充分必要条件是，所以与不相关的充分必要条件是事件与相互独立.②若与不相关，则，故的概率分布为，的概率分布为.（23）（11分）设总体，参数未知，是来自的简单随机样本.①求的矩估计和极大似然估计量；②求上述两个估计量的数学期望.解总体，其分布密度为（1）由，解得，故的矩估计量为；似然函数，，递减，又，故的极大似然估计量为.（2），而的分布函数.