4-10三角函数的积分

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1、模块基本信息一级模块名称积分学二级模块名称计算模块二级模块名称三角函数的积分模块编号4-10先行知识凑微分法模块编号4-9知识内容教学要求掌握程度三角函数积分的方法掌握求三角函数积分的方法熟练掌握能力目标1.培养学生的知识迁移能力2•培养学生的计算能力时间分配60分编撰尧克刚校对熊文婷审核危子青修订人张云霞二审危子青一、正文编写思路及特点思路：在复习凑微分法的基础上，总结三角函数积分法，按照由易到难的顺序讲解例题、安排习题，使学生能够灵活运用三角函数积分法求函数的积分。特点：通过例题及练习，巩固学生的计算能力。二、授课部分(一)复习回顾不定积分与定积分的凑微分法(-)新课讲授例1

2、tanxdx=sinxfax=cosx1、不定积分例题-[dcosx=-ln

3、cosa-

4、+C.(一级)Jcosx即Jtan.rfZx=-ln

5、cosx

6、+C.类似地可得JcotA^=ln

7、sinx

8、+C.例2：fsecxd兀•丄心•斗•仝学(二级)JJcosxJcos「xJ1-siirx_rdsinx」1-sin2x4，n1+sinx1-sinx+C=lnsecx+tanx+C1](l+sinx)~=—In——21-sin"x方法二secx(tanx+secx)fdxtanx+secxrd(seca：+tanx).小===Insec兀+tan兀+CJsecx+tan%即Jsec

9、xdx=lnsecx+tanx+C.类似地可得公式Jcsc.Mr=lnescx—cot兀+C这样，我们得到四个积分公式:jtanx^Zr=-ln

10、cosx

11、+C.Jcotxdx=In

12、sinx

13、+Csecxdx=Insecx+tanx+Cescxdx=ln

14、cscx-cotx+C•般地，在计算一些简单的三角函数有理式（即ftlsinx和cos兀通过冇限次的四则运算得到的函数）的不定积分，如计算形如sin"xcosnxdx的积分时，可以用下列方法:⑴当m=2Zr+l为奇数，可以分离一个sin兀出来凑微分，即Jsin"xcos=Jsin"xcos"xsinxJx=-jsin"xcos

15、,lxdcosx=-j(1-cos2x)kcosnxdcosx/?=2/+l为奇数，可以分离一个cosx出来凑微分，即Jsin"xcos"xdx=jsin'"xcos2/xcosxdx=Jsin"xcos2/xdsinx=jsin"'%（1一sin2x）dsinx从而将它们转化为cosx或sin兀的多项式来计算.例3求JsinGZx（二级）解:

16、sin3xdx=

17、sin2xsinxdx=-

18、(1-cos2x)dcosx=-jdCOSJV+JCOS2xdCOSX=-COSX4--jCOS3X+C・例4求Jsin，xcos*az/x(二级)解：

19、sin2兀cos5xdx=Jsin2x

20、cos4xdsin兀=Jsin2x(l-sin2x)2dsinI2

21、x-2sin4x+sin6x)6/sinx=^sin3x~sin5x+^sin7x+CJ,JI(2)当“〃均为偶数时，可以利用半角公式si"匕严，cos*呼降次化简后再计算.例5求Jcos2xdx(二级)解：Jcos2xdx=2；2氷詁(陆+Jcos%Zr)=±fjA-+lfcos2xJ2x=

22、X4Sin2x+C例6求Jcos3xcos2x

23、os(a+(3}+cos(«-(3)除此之外，另两个积化和差公式也常常用到sinacos0=—[sin(«+0)+sin(«一/?)]sinasin0=一*[cos(a+0)-cos(ez-0)]2、定积分例题求

24、%in3xdx(二级)解:53sinxdx=o0sin2xsinxtZx=-£(1-cos2x)Jcosx=-£dcosx+J()cos2xdcosx-cosx£1o丄3+-COSX°3解:71求£2(sinx-sin3x)dx(二级)j(sinx-sin3x)dx=£2sinxcos2xdx=一J£2cos2xdcosxo--COS3%3注：定积分的凑微分与不定积分

25、的凑微分法大致相同，只是多了一步代入上下限求值而己・三、能力反馈部分（1）Jcos3xdx（二级）（2）Jcos4xdx（二级）（3）Jsin3xcos4xdx（二级）（4）Jsin2xcos3Mr（二级）（5）£2sin3xcos%6&（二级）