精简易下载版数学解题学引论[1]

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1、数学解题学引论第四讲解题资料的初步整理涉及数学解题或解题方法的文章、书藉是研究解题的原始素材•这方血的资料浩如烟海，每年有大批书藉出版，每期中学数学杂志都以大量版血刊背题解或解题.我们粗略地将这些资料分成6类.1.理论性的方法研究这类箸作主要是从方法论的高度研究和讨论数学的发展规律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新法则•通常理论性较强、层次也较高（当然这一类资料本身也是冇层次的）.2.教学性的解题总结这类著作多从教育学、心理学或思维科学等角度，对解题进行分析研究与系统总结，常带有提高解题

2、教学理论水平，并通过解题培养能力、发展思维的教育动机.这类资料多体现在教材教法课程中解题教学部分,或以培养能力、发展思维为主题的解题书刊中.3规律性的解题探索..这类苦作从数学具体解题方法、具体解题技巧中捉炼出方法论的价值，勇敢探索“怎样想到这个解法”、“是什么促使你这样想、这样做？”的规律，努力摸清人们发现解法、找到思路的秘密，最杰出的代表是波利亚的世界名著.4.技巧性的解题指导这类书刊主要是结合题目介绍解题的貝体方法与貝体技巧.5.竞赛数学的原始积累主要指竞赛题的解法研究和辅导讲朋.自1986

3、年屮国数学会普及工作委员会第四届年会（西安会议）之后，这方而的资料如雨后春笋，有识之I:已经指出，这些资料的长期积累，将诞生一门独具特色的数学——竞赛数学（又称奥林匹克数学）.6.资料性的习题类编这方面的书藉、文章不计其数，大多只是现成的例子和现成的观点（个别的甚至没有任何观点）.有的是解题集、有的是习题集、有的是专门为升学服务的复习资料•在复习资料中，有一部分是以高考为素材的解题研究，这是具有中国特色的髙考文化的重要组成部分，其中不乏珍站；而另有一部分，则体现了解题教学新八股、并为题海战术和应试

4、教育推波助澜.解题基本功解题的成功取决多种因素，其中最基本的有：解题的知识因素，解题的能力因素，解题的经验因素和解题的非智力因素，我们统称为解题基本功.一、知识结构，”人的思维依赖于必要的知识和经验，数学知识正是数学解题思维活动的出发点与凭借.丰富的知识并加以优化的结构能为题意的本质理解与思路的迅速寻找创造成功的条件.解题研究的一•代宗师波利亚说过：“货源充足和纽织良好的知识仓库是一个解题者的重要资木每一•个希望提高解题效率的人，都必须下决心，花大力气去做到下述3个基本要求：1.熟练掌握数学基础知

5、识的体系•对于中学数学解题来说，应如数家珍说出教材的概念系统、定理系统、符号系统.还应掌握中学数学竞赛涉及的基础理论.2.深刻理解数学概念、准确掌握数学定理、公式和法则.3.熟悉基本的逻辑规则和常用的解题方法，积累不断涌现的数学技巧.例4如图所示，在△血加的两边肋和胚上向外作正方形肋防和ACGH,则边臆上的高初平分线段必讲解这是一道传统题,=运此sinA=SMF”•必有SZKF=S、KH•从而△ABC与HAFH部分相等.又由于要证FK二KH,若此式成立,由此，诱发我们去考虑，把△肋C分成两个等积

6、的三角形，分别与△/伪全等.因而作仙交腮于必使ZBA0ZAFK,从而，场C二Z胡GZ脳〃=（180°-ZFAH）-ZAFK二ZAHF・于是△AFK（SAS）/AHK9/CAM,（SAS）得FK二AM二HK.命题得证.为了证明FK二HK,通过辅助线仙來过渡，这个思路是比较隐蔽的，不熟悉“面积相等必剖分相等”的中学生，要找到这个思路必多费周折，这说明，知识对解题的指导作用.例5有甲、乙丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需3.15元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需4.20元；现在购甲、乙

7、、丙各一件共盂儿元？[1985年全国初中数学联赛]讲解设甲、乙、内的单价分別为x元、y元、z元，依题意有F兀+7）*=3・15,®[4x+10），+z=4.20.②对于小学生，这是一道非常规的方程问题，需要有较强的观察、分析和变形能力.可以有•两种途径将其转化为常规二元方程组的求解.途径1将原方程变形为[2（x+3y）+（*），+z）=3・15,于是，（兀+）的求值转化为消去（兀+3必[3（兀+3y）+（兀+y+z）=4.20・途径2视为主元索，将原方程组变形为”兀+7）=3.15-z,解出［x=

8、1.05-1.5z,x+,+z=1>05（元）.［4x+10y=4.20-z;［y=0・5z；但是，如果有空间解析几何的知识，那么就可以居高临下看出，①、②表示了两个平血，而求解则是确定一个过其交线的平面（求k）：x-^y+z=k③写出过①、②交线的平面系，入（3x+7严z-3.15）+u（4x+10y+z-4.20）=0,3Z+4“=1,即（3入+4»）兀+（7X+10p）jH-（X+p）z二3.15入+4.20»,令］7几+10“=1,可解得X=3,u=-2,从而得③中的斤为k