线性方程组的迭代解法（6）

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1、第六章线性方程组的迭代法线性方程组的精确解法，针对于阶数不太大的方程组是比较有效，而对高阶方程组，特别系数矩阵为无规律大型的稀疏阵(即矩阵中有许多零元素)，直接法很难克服存贮问题。相对于直接法，我们可用迭代法求解，迭代法可以不必存储系数矩阵屮的零，且很易编制程序。本章我们主要介绍解线性方程组的一般迭代，Seidel迭代，及逐次松驰迭代法(SOR),它们都属于线性迭代。它们一般的做法是：把原方程组Ax二b写成与其同解的方程组x二Bx+g,(其中A、B是nxn矩阵，b、g是n维列向量，x是n元未知列向量)，然后建立迭代格式：x

2、(k)=BxZ)+g(6一1)希望对从任意的初始值x(°)开始，由(6—1)得到的向量序列｛X00｝是收敛的。定义从任意的初始值x(°)开始，由(6—1)得到的向量序列｛X00｝是收敛的，则称此迭代法是收敛的，我们称B为迭代矩阵。(6—2)10%]-2x2_x3=3例：用迭代法解方程组：-2x,+10x2-x3=15——2xo+5兀3=10如果把(6—2)写成如下的同解方程组：X]=0.2x2+0」X3+0.3

3、1x$T)+03x$)=0.2x,t)+0.1x$-】)+1.5x；k)=0.2x$T)+o.4x笄)+2取初始值晋)=x；°)=x；°)=0,其中x；°),xy),x『)即为初始向量x(°)的第一、二、三个分量，其运算结果如下：kX,)x$)x$)000010.30001.500()2.000020.80001.76002.660030.91801.92602.864040.97161.97002.954050.98941.98972.982360.99631.99612.993870.99861.99862.99778

4、0.99951.99952.999290.99981.99982.9997而（6—2）的准确解是：xi=l,x2=2,x3=3,迭代九次后的迭代值x⑼二(0.999&1.999&2.9997)丁与准确解已很接近，但如果把(6—2)写成如下的同解方程组:X]=5x2-0.5x3-7.5

5、,0)T,则x⑴=(・7.5,・5,・3),x(2)=(-31,-8.75,-68),这样继续下去，x(9)=(1179069,-102678.219,-5862292),其结果的绝对值越来越大，不能逼近于任何常数，这个迭代格式是发散的。对于一个一般的线性方程组Ax=b写成与其同解的方程组X二Bx+g其方式有无穷多种，究竟怎样的迭代格式是收敛的呢？下面我们给予讨论。§1.简单迭代法的收敛条件及误差估计我们把由方程组X二Bx+g而建立的迭代格式x(k)=Bx(k_,)+g(6—3)称为简单迭代格式。假设方程组x=Bx+g有解

6、对任意的初始向量x(0),设由(6-3)得的向量序列为x(k),则有：严―x'B(xZ)—X),令：e(k)=x(k)-x则:e(k)=Be^0,……，e(k)=Bke(0)o如果(6-3)收敛，则对任意的初始向量x(°),(从而严也是任意的),有e(k)^0：又因对任意e(0),使e(k)=Bke(0)->0(k->oo)的充要条件是B(k)->0(k->oo),这样我们得到下面定理：定理1：简单迭代格式(6—3)收敛的充要条件是B(k)T0(kToo)。定义2：设nxn阶矩阵B的n个特征值为入]，…，九「称p(B)=

7、max

8、Xj

9、为矩阵B的i

10、<1即:反Z,结论也成立。由于A必相似于一个Jordan标准型：diag(A】，…，),其中Ai=nixni由于p(A)<1,从而

11、入]

12、<1(i=l/-r)，故有A：—>0(k—>oo)o从而有:(dhig(A],…，A「))JO,故Ak->0(k

13、->0)系：简单迭代(6-3)收敛的充要条件是P(B)<1例2：对线性方程组：x=Bx+g判断其用简单迭代法能否收敛，其屮:01-2_r1300g=22.700-1B=九3=解：由于B的特征根为：纸=0,九219211921故p(B)=—,从21而知简单迭代法收敛。矩阵范数与谱半径有如下关系:定理3：设