专题讲座 推理与证明

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1、推理与证明一：知识点：1、归纳推理：把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；证明（视题目要求，可有可无）.2、类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理的一般步骤：找出两类对象之间可以确切表

2、述的相似特征；用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；检验猜想。3、合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.4、演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.演绎推理的一般模式———“三段论”，包括　　⑴大前提-----已知的一般原理；⑵小前提-----所研究的特

3、殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．5、直接证明与间接证明⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.要点：顺推证法；由因导果.⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.要点：逆推证法；执果索因.⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是

4、一种间接的证明方法.反证法法证明一个命题的一般步骤：(1)（反设）假设命题的结论不成立；(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；(3)（归谬）断言假设不成立；(4)（结论）肯定原命题的结论成立.6、数学归纳法数学归纳法是证明关于正整数的命题的一种方法.用数学归纳法证明命题的步骤;（1）（归纳奠基）证明当取第一个值时命题成立；（2）（归纳递推）假设时命题成立，推证当时命题也成立.只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立.二：典型例题例1.已知：；通过观察上述两等式的规律，

5、请你写出一般性的命题：__________________并证明.变式训练1：设，，n∈N，则例2.在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：。设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是.变式训练2：在△ABC中，若∠C=90°，AC=b,BC=a，则△ABC的外接圆的半径，把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。例3.请你把

6、不等式“若是正数，则有”推广到一般情形，并证明.。变式训练3：观察式子：，…，可归纳出式子为（）A、B、C、D、例4.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为（）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误变式训练4：“AC,BD是菱形ABCD的对角线，AC,BD互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是。例5为实数，求证中至少有一个大于0。变式训练5：用反证法证明命题“可以被5整除，那

7、么中至少有一个能被5整除。”那么假设的内容是例6.△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，求证：。变式训练6：用分析法证明：若a>0，则。例7．已知数列，，，．记．．求证：当时，（1）；（2）；三：巩固练习1.考察下列一组不等式：.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是.2．已知数列满足，（），则的值为，的值为．3.已知，猜想的表达式为（）A.；B.；C.；D..4.某纺织厂的一个车间有技术工人名（），编号分别为1、2、3、……、，有

8、台（）织布机，编号分别为1、2、3、……、，定义记号：若第名工人操作了第号织布机，规定，否则，则等式的实际意义是（）A、第4名工人操作了3台织布机；B、第4名工人操作了台织布机；C、第3名工人操作了4台织布机；D、第3名工人操作了台织布机.5.已知，计算得，，，，，由此推测：当时，有……6.观察下图中各正方形图案，每条边上有个圆圈，每个图案中圆圈的总数是，按此规律推出：当时，与的关系式7.观察下式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4