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《小学奥数之-----抽屉原理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、小学奥数之■■…抽屉原理桌上有十个苹果，耍把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的抽屉原理。抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，毎一个苹果就可以代表一个元索，假如有n+1或多于n+1个元索放到n个集合中去，具小必定至少有一个集合里至少有两个元素。”抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽了飞回笼中后，至少有一个笼了中装冇2只鸽了”）。它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出來并用以证
2、明一些数论屮的问题，因此也称为狄利克雷原理。它是组合数学屮一个重要的原理。一.抽屉原理最常见的形式原理1把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。［证明］（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n,而不是题设的n+k（k$l）,这不可能.原理2把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。［证明］（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体，那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能.原理12都是第一抽屈原理的表述笫二抽屉原理：把（mn—1）个物体放入n个抽屉中，
3、其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。［证明］（反证法）：若每个抽屉都冇不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能二.应用抽屉原理解题抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它來解决。例1:400人屮至少有两个人的生日相同.解：将一年中的366天视为366个抽屉，400个人看作400个物体，山抽屉原理1可以得知：至少有两人的生日相同.又如：我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少冇两个人属相相同.“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。”“从数1,2,1（）屮任取6个数，其
4、中至少有2个数为奇偶性不同。”例2：幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩貝•，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总冇两个彼此选的玩具都相同，试说明道理.解：从三种玩具中挑选两件,搭配方式只能是下面六种:（兔、兔），（兔、熊猫）,（兔、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿）。把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，那么根据原理1,至少有两个物体耍放进同一个抽屉里，也就是说，至少两人挑选玩具采用同一搭配方式，选的玩具相同.上曲数例论证的似乎都是“存在”、“总有”、“至少有”的问题，不错，这正是抽屉原则的
5、主要作用.（盂要说明的是，运用抽屉原则只是肯定了“存在”、“总冇”、“至少冇”，却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少.）抽屉原理虽然简单，但应用却很广泛，它可以解答很多有趣的问题，其中有些问题还具有相当的难度。下面我们来研究有关的一些问题。（一）整除问题把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类，叫做m的剩余类或同余类，川⑹,［11，［21，［m-1］表示.每一个类含有无穷多个数，例如［1］屮含有1,m+1,2m+l,3m+1，…•在研究与整除冇关的问题时，常用剩余类作为抽屉•根据抽屉原理，可以证明：任意n+1个自然数中，总有两个自然数的差是n的倍数。例1证明：
6、任取8个白然数，必有两个数的差是7的倍数。分析与解答在与整除冇关的问题中冇这样的性质，如果两个整数a、b,它们除以自然数m的余数相同，那么它们的差a-b是m的倍数.根据这个性质，木题只需证明这8个白然数中有2个自然数，它们除以7的余数相同.我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0、1、2、3、4、5、6分成七类.也就是7个抽屉.任取8个口然数，根据抽屉原理,必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以7的余数相同，因此这两个数的差一定是7的倍数。例2：対于任意的五个自然数，证明其中必有3个数的和能被3整除证明・・•任何数除以3所得余数只能是0,1,2,不妨
7、分别构造为3个抽屉：L0J,山，L2J①若这五个自然数除以3示所得余数分别分布在这3个抽屉屮，我们从这三个抽屉屮各取1个，其和必能被3整除.②若这5个余数分布在其中的两个抽屉中，则其中必有一个抽屉，包含有3个余数（抽屉原理），而这三个余数之和或为0,或为3,或为6,故所对应的3个自然数之和是3的倍数.③若这5个余数分布在其中的一个抽屉中，很显然，必有3个口然数Z和能被3整除.例2’：对于任意的11个整数，证明具屮一定有6个数，它们的和能被6整除.证明:设这11个整数为:al,a2,a3……all又6=2X3①先考虑被3整除的情形由例2知，在11个任意整数屮，必存
8、在：3lal+a2+a3
