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1、例析抽象函数解法抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数，如函数的定义域，解析递推式，特定点的函数值，特定的运算性质等，它是高中函数部分的难点，也是大学高等数学函数部分的一个衔接点，由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，因此理解研究起来比较困难•但由于此类试题即能考查函数的概念和性质，又能考查学生的思维能力，所以备受命题者的青睐，那么，怎样求解抽彖函数问题呢，我们可以利用特殊模型法，函数性质法，特殊化方法，联想类比转化法，等多种方法从多角度,多层而去分析研究
2、抽彖函数问题，一：函数性质法函数的特征是通过其性质(如奇偶性,单调性周期性，特殊点等)反应出来的，抽象函数也是如此，只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活进行等价转化,抽象函数问题才能转化，化难为易，常用的解题方法有：1,利用奇偶性整体思考;2，利用单调性等价转化;3,利用周期性回归已知4;利用对称性数形结合;5,借助特殊点，布列方程等.二:特殊化方法1在求解函数解析式或研究函数性质时，一般用代换的方法，将x换成-x或将x换成等2在求函数值时，可用特殊值代入3研究抽彖函数的具体模型,用具体模型解选
3、择题，填空题,或由具体模型函数对综合题，的解答提供思路和方法.总乙抽象函数问题求解，用常规方法一般很难凑效，但我们如果能通过对题目的信息分析与研究，采用特殊的方法和手段求解,往往会收到事半功倍之功效，真有些山穷水复疑无路，柳暗花明又一村的快感.1・已知函数f(x)对任意x、yGR都有f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y+2)+3,且f(l)=l①若t为自然数，(t>0)试求f(t)的表达式②满足f(t)-t的所有整数t能否构成等差数列?若能求出此数列，若不能说明理由③若t为自然数时，f(t)
4、^mt2+(4m+l)t+3m,恒成立，求m的最大值.2・已知函数f(x)=史”，且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0,g(l)g(兀)+1=2,g(x)是增函数.g(m)•g(n)=g(m+n)(m>nER)求证：①f(x)是R上的增函数②当nwN,nN3时,f(n)>—^―n+1解：①设X1>X2g(x)是R上的增函数,且g(x)>0g(xj>g(x2)>0g(xi)+l>g(x2)+l>0g(%2)+l
5、)+1g(X2)+lg(州)+1•If(X1)-f(X2)二也口-gj二1
6、-—-(1-—-—)g(X])+lg(>2)+lg(兀])+1g(>2)+l2g(兀2)+1—-—>0g(xj+lf(X1)>f(x2)f(x)是R上的增函数g(x)满足g(m)•g(n)=g(m+n)(m>nER)且g(x)>0g(n)=[g(l)]n=2n当nWN,nN3时,2n>nf(n)=22_zl=i-_2_,丄=1-丄2"4-12"+ln+1n+12n=(1+1)"=l+n+…+q+…+n+l>2n+l2n+l>2n+2,即i-^—>i-—!—2"+ln+l2"+ln+1当nwN,nN3时,
7、f(n)—72+13.设f,(x)f2(x)是(0,+8)上的函数，且fKx)单增，设f(x)=fi(x)+f2(x)，且对于(0,+8)上的任意两相异实数X[,X2f亘有
8、fi(xj—f(X2)I>1f2(xj—f2(x2)I①求证：f(X)在(0,+8)上单增.②设F(x)=xf(x),a>0.b>0.求证：F(a+b)>F(a)+F(b)・①证明：设xl>x2>0Tf,(x)在(0,+8)上单增fi(xD—fi(x2)>0■Ifi(xi)—fi(X2)
9、二fi(xj—fi(x2)>0fl(X1)
10、—fl(x2)
11、>
12、f2(xi)—f2(x2)I■••fl(x2)-fl(X])fl(x2)+f2(x2)■••f(X1)>f(x2)f(x)在(0,+s)上单增②丁F(x)=xf(x),a>0>b>0a+b>a>0,a+b>b>0F(a+b)二(a+b)f(a+b)=af(a+b)+bf(a+b)Tf(x)在(0,+8)上单增■•F(a+b)>af(a)+bf(b)=F(a)+F(b)3.函数y=f(x)满足①f
13、(a+b)=f(a)•f(b),②f⑷=16,m>n为互质整数，nHO求f(纟)的值n丁f(o)=f(o+o)=f(o)•f(o)=f2(o)■••f(0)二0或1.若f(0)=0则f(4)二16二f(0+4)二f(0)•f(4)=0.(矛盾)■…f(l)=lTf⑷二f(2)•f(2)=f(l)•f(l)•f(l)・f⑴二16f⑴二严(丄)$02■…f(l)=2.仿此可证得f(a)20.即y=f(x)是非负函数.f(0)=f(a+(-a))
