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1、心理与教育统计学第3章集中量数3.1算术平均数3.2中数3.3众数3.4其他集中量数加权平均数几何平均数调和平均数(1)基础数学知识：(3)证：(2)(4)C为常数注意：证：集中趋势(centraltendency)：指数据分布中大量数据向某方向集中的程度，描述这种特点的统计量称为集中量数。离中趋势：指数据分布中数据彼此分散程度，描述这种特点的统计量称为差异量数。BACX1X23.1算术平均数算术平均数（arithmeticaverage）一般简称为平均数（average）或均数、均值（mean）。一般用
2、Ｍ，或者用 表示。算术平均数是最常用的集中量数。3.1.1平均数的计算公式（一）未分组数据计算平均数的方法(3.1)算术平均数原始分数的总和数据的数目式中：某项研究在一年级学生中抽取30名样本，测得他们的某项考试分数如下：61,81,63,58,55,78,64,72,72,64,52,65,67,72,70,58,50,80,51,79,81,77,69,86,61,89,50,54,56,65。求他们的平均能力分数。解：这是求所抽取的30个样本的算术平均数，根据公式（3.1）（二）用估计平均数计算平
3、均数如果数据的数目以及每个观测数据值都很大时，可以利用估计平均数（anestimatedmean)简化计算。(1)设定一个估计平均数，AM。(2)从每个数据中减去AM，使数值变小，计算差值的平均数。(3)最后计算的差值平均数加上估计的平均数。用估计平均数计算平均数公式：(3.2)AM为估计平均数N为数据数目式中：原始数值原始-AM61-4811663-258-755-10781364-1727727…………650令AM为65表3-130名学生的能力分数（三）使用次数分布表计算平均数分组区间组中值Xc次数f
4、96~97293~94390~91487~88884~851181~821778~791975~761472~731069~70766~67363~64160~611表3-2100名学生的成绩分数次数分布表计算平均数的基本公式：(3.3)Xc为分组区间的组中值f为各组次数分组区间组中值Xc次数ff﹒Xc96~972194.093~943282.090~914364.087~888704.084~8511935.081~82171394.078~79191501.075~76141064.072~73107
5、30.069~707490.066~673201.063~64164.060~61161.0表3-3100名学生的成绩分数使用第33页原始数据计算：假设各种的数据分布于组中值附近，即假设各种的平均值等于组中值，但实际情况却不一定这样。次数分布表计算平均值只是一种近似的求平均值的方法。令得代入上3.4式：i组距AM估计平均值令得第一种简化方法：（3.4）组距i相同（3.5）令AM=79注意：等距分组情况下，才能用这种方法表3-4100名学生的成绩分数代入3.4式：令得第二种简化方法：与组距i无关（3.6）令
6、AM=79表3-5100名学生的成绩分数由公式可得3.1.2算术平均数的几个重要性质：（1）在一组数据中，每个变量与平均数之差（称为离均差）的总和等于0.设则所以证：（2）在一组数据中，每一个数都加上一常数C，则所得的平均数为原来的平均数加常数C证：（3）在一组数据中，每一个数据都乘以一个常数C，所得的平均数为原来的平均数乘以C证：3.1.3平均数的意义算术平均数是“真值”最佳的估计值证：设样本总体抽样统计推论（3.7）所以：当时，所以：由得代入3.7式得：3.1.4算术平均数的优缺点算术平均数具备一个良
7、好的集中量所应具备的一些特点：反应灵敏、有公式严密确定、简明易懂、适合代数运算等等，因此是一个最常用的集中量。主要不足：容易受两极端数值的影响；一组数据中有模糊不清的数值时无法计算。正态分布的3σ准则3.1.5计算和应用算术平均数的原则同质性原则：算术平均数只能用于表示同类数据的集中趋势。平均数与个体数值相结合的原则：在解释个体特征时，既要看平均数，也要结合个体的数据。平均数与标准差、方差相结合原则：描述一组数据时既要分析其集中趋势，也要分析离散程度。复习式中：3.2中数中数（median），又称为中点数
8、，中值。是按顺序排列在一起的一组数据居于中间位置的数。中数是集中量数的一种。符号为Md或Mdn3.2.1未分组数据求中数首先将一组数据按顺序排列（1）数据个数为奇数，则中数为(N+1)/2位置的那个数。（2）数据个数为偶数，则中数为居于中间位置两个数的平均数。n为奇数n为偶数（3.8）求数列6,4,7,12,8的中数。解：该数列有5个数据n为奇数，(n+1)/2=(5+1)/2=3第3个数据为7，故Md=7.求数列2,3,5,
