抛物线及其标准方程”教学案例

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1、市教案设计一等奖高中数学“情境·问题·反思·应用”　　　　　　——“抛物线及其标准方程”教学案例　　　　　　　梁　　家　　斌（江苏省金湖中学，江苏　金湖　211600）　　摘要：通过几何画板及Fash的演示，使学生直观感受抛物线的形成过程，然后学生运用类比的方法，自主研究、合作交流等方式得出抛物线的定义、标准方程，最后反思应用。　　关键词：抛物线；标准方程；教学1　教学设计1.1　教学内容分析　　圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容，本章圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三个部分，三部分在圆锥曲线中的地位相同。本章对抛物线的安排篇幅不多，并非其不重要，主要是因为学生对于椭圆、双曲线的基

2、本知识和研究方法已经熟悉了，这里精简介绍，学生是完全可以接受的，讲解时应采用类比的方法让学生自主研究、合作交流等方式得出抛物线的定义、标准方程，最后反思应用。。本课是高二数学§8.5的第一课时，它是学习抛物线的性质及其应用的基础。抛物线的定义很简单但非常重要，学习时要注意和椭圆、双曲线的第二定义相联系，为深刻体会圆锥曲线的统一定义作好充分准备。由椭圆、双曲线、抛物线的定义可以看出，它们都是平面内与一个定点的距离和它到一条直线的距离之比为常数e的点的轨迹，随着e的变化，轨迹的图形发生变化，既可从中得到圆锥曲线的统一定义，又可对学生进行运动、变化、对立、统一的辩证唯物主义思想教育。在由

3、抛物线的定义导出它的标准方程时，可先让学生考虑怎样选择坐标系，在导出方程的过程中，设焦点到准线的距离是p，这就是抛物线方程中参数p的几何意义，所以p的值永远大于0。1.2数学情境的创设　　笔者上这一节课的时间是2003年12月10日上午第二节，当时的背景是淮安市高一、高二数学研讨会在我校举行，围绕新课改的精神，如何进行课堂教学上的一节公开课。笔者设置了以下的数学情境：　　前面我们一起研究了椭圆、双曲线的定义，标准方程，几何性质，大家想一想：椭圆、双曲线的第二定义的内容是什么？　　与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜6e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那

4、么，当e=1时，它是什么曲线呢？　　师生一起利用几何画板进行动画演示得出e=1，指出此时曲线是抛物线。1.3　教学目标根据教学大纲和考试说明，结合数学情境的创设，确定本节课的素质教育目标是：⑴知识教学目标：理解和掌握抛物线的定义与标准方程。⑵能力训练目标：掌握抛物线的定义及其标准方程，掌握抛物线的焦点、准线及方程与焦点坐标的关系，培养学生数形结合、分类讨论、类比的思想。⑶德育渗透目标：根据圆锥曲线的统一定义，对学生进行运动、变化、对立、统一的辩证唯物主义思想教育。2　教学过程2.1　创设情境师：前面我们一起研究了椭圆、双曲线的定义，标准方程，几何性质，大家想一想：椭圆、双曲线的第二

5、定义的内容是什么？　　生：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么，当e=1时，它是什么曲线呢？　　师生一起利用几何画板进行动画演示得出e=1，指出此时曲线是抛物线。（通过几何画板的演示，由e的变化揭示课题，通过研究e的值，得到抛物线，再观察抛物线的点满足的条件，由学生归纳抛物线的定义，生动、直观。）2.2探索研究1、 实验、演示，观察猜想。几何画板课件演示：学生观察 ① 动点M到焦点F的距离

6、MF

7、与动点M到定直线l的距离d之间的关系；② 观察追踪动点M得到的轨迹形状。　　探索出当e ＝1时动点M的轨迹为抛物线，进而

8、给出抛物线的定义。2、抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.3、 求抛物线的标准方程。师：下面，根据抛物线的定义，我们来求抛物线的方程，过F作准线的垂线，垂足为K，设｜MK｜＝p，如何建立直角坐标系？先让学生思考，独立建立直角坐标系，教师巡视，从学生中归纳出以下几种解法，视频展台展出。6　　　　　　　　y2＝2px－p2(p＞0)　　　　y2＝2px＋p2(p＞0)　　　　　y2＝2px(p＞0)　　师：选择哪一种方程作为抛物线的标准方程？并说明理由。　　生：将方程y2＝2px(p＞0)叫做抛物线的标

9、准方程，因为此时方程最简洁，顶点是原点。师：很好！我们把方程y2＝2px(p＞0)叫做抛物线的标准方程，它表示焦点在x轴的正半轴上，坐标是(p/2,0),准线方程是x＝－p/2。（Flash动画演示）强调：① p的几何意义；② 已知抛物线的标准方程y2＝2px （p>0），迅速写出它的焦点坐标、准线方程；③ 已知抛物线的焦点F（p/2 ，0）或准线方程x＝－p/2 （p>0），迅速写出其标准方程。练习：已知抛物线的标准方程是y2＝6x，则焦点坐标是________；准