全国高中数学联赛模拟题(6)

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1、全国高中数学联赛模拟题（6）第一试一、填空题1.已知集合,，则集合中所有元素之和为_______.2.若函数，则________.3.记，若实数使得、、成等比数列，则_______.4.已知有两个半径为的小球和两个半径为的小球，且这四个小球两两外切.若存在一个半径为的小球与四个小球均外切，则________.5.设、为双曲线的两个焦点.若存在过点的直线与双曲线交、两点，使得的重心在双曲线上，则双曲线的离心率_______.6.已知，，，，且.则的最大值为______.7.随机掷出五个标准的色子，得到的五个点数之和是的概率为________.8.已知，，，，记,，，.在这些数中，最

2、多能有______个.二、解答题9.已知定义在上的函数，且对于任意正实数，一定存在复数，使得，，试求实数的取值范围.10.已知实数、、满足，.试求的最大可能值与最小可能值.11.已知为椭圆上的点，对椭圆上的任意两点、，用如下办法定义它们的“和”：过点作一条平行于（若点和重合，则直线表示椭圆在处的切线）的直线与椭圆交于不同于的另一点，记作（若与椭圆相切，则规定为）.并规定（1）若点,,求、以及的坐标.（2）在椭圆上是否存在不同于的点，满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由？加试一、在平行四边形中，已知过点作直线与射线、分别交于点、,中内的旁心为,中内的旁心为.证明：为定值

3、.二、有支球队参加篮球比赛，已比赛了若干场，且每支球队之间至多比赛一场.证明：可以将所有球队分成、、、三组（允许某些组中没有任何球队），满足以下三个条件：（1）组中的球队互相之间均没有比赛过；（2）组中的每支球队均输给过组中的某支球队；（3）组中的每支球队均输给过组中的某支球队.三、已知正实数数列满足，，.证明：的整数部分不可能为完全平方数.四、已知表示的个位数字：数列不是周期数列.参考答案第一试一、1..解析：若，则、、、、；若，则、、；若，则、、、；若，则、、；若，则、.综上，,所以，集合中所有元素之和为.2..整理得.故结果为.3..由已知得.设，，则，，.故.又、不全为，

4、则.故.又，则.所以，.因此，，.4..设四个小球球心为、、、.在四面体中，由已知不妨设,,.则,且公垂线段为中点连线.故距离为.于是，半径为的小球球心在该线段上.故.舍去负根得.5..设双曲线，点，.则.又，故.将代入可得重心的轨迹方程为.故离心率为.6..由题意知.故.显然，时，上式等号成立.7..所有掷色子的结果共有种.考虑五个正整数之和等于的所有情形，共有种，不可能用色子掷处的情形只能是一个和四个，共种情形.故概率为.8..由韦达定理得.构造，可使.注意到，、为项的和，只有项,均不可能为.故、均为项的和.但这项的总乘积为，不可能是个和个.从而，最多只有个.二、9.当时，取

5、.则对任意的，均有.当时，对任意正实数，取，则.当时，对任意正实数，取，则.综上，或.10.利用，得，即得最大值.此时，令可取到等号.由柯西不等式得.在这一范围内，考虑.展开得.故.此时，令可取到等号.11.（1），，.（2）存在.设，，，.则.而对应的参数为，于是，若、对应的参数为、，则对应的参数为满足.设，且对应的参数为.则对应的参数为，对应的参数为.故.于是，的坐标为.从而，所求坐标为或.加试一、如图.注意到，.类似地，.故.再由.得.故.于是，为定值.二、用数学归纳法证明.假设一共有支球队.当时，命题显然成立.假设时，命题成立.当时，任选一支球队，记为，并记所有输给球队的

6、球队为，，，.由归纳假设，可以将除去球队，，，，后剩下的队伍分为、、三组.考虑球队与组中所有球队的比赛情形.若球队和组中所有球队均未比赛，则将球队放在组中，球队，，，放在组中，命题成立.若球队和组中某支球队比赛过，则该球队一定胜了球队，将球队放在组中，球队，，，放在组中，命题成立.综上，对任意正整数，命题成立.三、观察前几项得，，，.设.由递推关系整理得.猜测：，且.由，，可归纳证明，满足要求.故.于是，的整数部分为，这是的奇数次幂，显然不可能为完全平方数.四、用表示在五进制下的各位数字.设在五进制下的小数为，不难发现，，.由的无理性，得不是周期数列.而，故不是周期数列.