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1、2017年全国高中数学联赛模拟题6一试考试时间上午8：00~9：20，共80分钟，满分120分一、填空题（共8题，每题8分，64分）1、y=的最大值为，最小值为，则等于.2、已知实数满足，且函数，当时有最大值，最小值，则＝.3、已知集合，对它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以再求和(例如，A={2,3,8}，则可求得和为(-1)2×2+(-1)3×3+(-1)8×8=7),对的所有非空子集，这些和的总和为.4、已知两个集合A=，B=，若A∩B≠，则整数a的值为.5、函数f(x)的定义域为(0,+∞)，并
2、且对任意正实数x，都有，则.6、是正整数，且成等比数列，是一个完全平方数，，则a+b+c=.7、已知的图像与轴有两个不同的交点且，则的值为.8、设n为正整数，记1×2×…×n为n!(例如1！=1，2！=1×2，5！=1×2×3×4×5)，若存在正整数满足，这里，i=2，3，4，5，6，则等于.二、解答题（共3题，共56分）9、（本题16分）已知点的序列，其中，是线段的中点，是线段的中点，是线段的中点，(1)写出与之间的关系式；(2)设，求的通项公式。10、（本题20分）已知，函数，试求在区间上的最大值。11、（本题2
3、0分）已知双曲线的离心率为2，过点斜率为1的直线交双曲线于两点，且(1)求双曲线方程；（2）设Q为双曲线右支上动点，为双曲线的右焦点，在轴负半轴上是否存在定点，使得?若存在，求出点第6页的坐标，若不存在，请说明理由。2017年全国高中数学联赛模拟题6（二试）9：40~12：10共150分钟满分180分平面几何、代数、数论、组合1、（本题40分）如图，在锐角三角形ABC中，AB=AC，∠ACB的平分线交AB于D，过△ABC的外心O作CD的垂线交AC于E，过点E作AB的平行线交CD于F.（1）求证：C、E、O、F四点共圆
4、；（2）求证：A、O、F三点共线；（3）求证：EA=EF（福建2010预赛）2、（本题40分）求最小正整数使得可被2010整除.3、（本题50分）设多项式恰有个正实根，求证它的所有实根相等。4、（本题50分）桌上放有根火柴，甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取，第一次可取走至多根火柴，此后每人每次至少取走根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的2倍.取得最后一根火柴者获胜.问：当时，甲是否有获胜策略？请详细说明理由.第6页2017年全国高中数学联赛模拟题6参考答案一试1.、首先，由，且，得..由于，所以，当x=时，y2取
5、得最大值，故a=当x=或时，y2取得最小值，故b=，所以，ab=2、因为所以，b=0,c2-4c+4=4c，解得c=4+2,故b+c=4+2.3、因为S={2，3，…，9}，对于每个k(k=2,3,…,9)，在总和中出现27次，故总和为4、由题意知，方程组有整数解(x，y)，x>0.显然a≠0，y<0，从而a<0.消去y，可得即3a2-2a≤9，由于a是负整数，所以a只能等于－1.当a=-1时，，所以a=-15、令x=2，得，令x=，得，从①，②中消去，得f(2)=20106、由题意，b2=ac，log6abc=6，
6、所以，abc=66，故b=62=36，ac=362.于是，36-a是完全平方数，所以，a只能为11，20，27，32，35，而a是362的约数，故a=27，进而，c=48，所以a+b+c=1117、首先，由，得a>0或a<，由题意，可设则，，所以，解得a=0.5或者a=0(舍)。故a=8、在题设等式的两边乘以6！，得31×20=3×4×5×6a2+4×5×6a3+5×6a4+6a5+a6，因为，所以，而0≤a6<6，所以a6=2.于是103=3×4×5×a2+4×5a3+5a4+a5，所以，于是a5=3于是20=3×
7、4a2+4a3+a4，所以，于是a4=0所以5=3a2+a3所以，于是a3=2,从而a2=1第6页所以原式=12+22+02+32+22=189、（１）（ｎ３）；（２）＝＝－＝，由此可见，数列是公比为的等比数列，＝ （ｎ）。10、,事实上，令，借助导数按讨论即得。11、由已知得:，∴双曲线方程可化为。设直线方程为代入得,,∴直线一定与双曲线相交设，则∴消去得，(2)设，由于，∵∴∴，将代入得∵，∴，得∴在轴负半轴上存在定点，使得。2017年全国高中数学联赛模拟题6参考答案二试1、（1）证明：连接,则,∵∴又CD是的平
8、分线，∴∴∵∴而第6页∴,即四点共圆。（2）过作于交,则由（1）∴,故共线，由,知共线。（3）∵，∴是等腰三角形。故2、解：又或，，或，故所求最小正整数.3、证明：设为多项式的所有正根，由韦达定理有变形为代入得结合得∵，由柯西不等式当且仅当时等号成立。故命题得证。4、解：把所有使得甲没有有获胜策略的初始火柴数目从小到大排序为：，，，…，不难发现
