《复数与复变函数》PPT课件

《《复数与复变函数》PPT课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、复变函数是研究复变数之间的相互依赖关系的一门数学学科，而积分变换则是通过积分运算把一个函数变成另一个函数的变换。复变函数、积分变换的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的平面问题的有力工具。通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数的基本理论和方法，为学习有关专业课和扩大数学知识面打下必要的数学基础。课程教学目的和任务复变函数理论产生于十八世纪，欧拉、达朗贝尔、拉普拉斯等都是创建这门学科的先驱。十九世纪，复变函数理论得到了全面发展，柯西、黎曼、维尔斯特拉斯

2、等为这门学科的发展作了大量奠基工作。复变函数理论这个新的数学分支统治了十九世纪的数学，当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。二十世纪初，复变函数理论又有了很大的进展，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数理论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了重要贡献。复变函数论发展历史沿革复变函数理论对数学领域的许多分支的发展都很有影响，它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等多个学科。更重要的是，它

3、在其他学科得到了广泛的应用，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就采用复变函数理论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。复变函数理论以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它推动了许多学科的发展，在解决某些实际问题中也是强有力的工具，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。第一章复数与复变函数自变量为复数的函数就是复变函数，它是本课程的研究

4、对象。由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算，本章将在原有的基础上作简要的复习和补充；然后再介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性的概念，为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础。教学目的与要求：1.掌握复数各种表示方法及其运算；2.了解：①复数定义及其几何意义；②复单连通区域与复连通区域；③无穷远点邻域。3.理解复变函数的概念及极限和连续。教学重点：复数的表示法及其运算，复变函数的概念。教学难点：利用复数解决平面几何问题。学习要求课外思考题习题一1(2)(4)，5(3)(6)，8(1)(2)，10

5、(1)，12(1)(3)，16(3)(4)，20(1)一、复数概念设，为两个任意实数，称形如的数为复数，记为，其中满足，称为虚数单位。实数和分别称为复数的实部和虚部，记为，。注意：各数集之间的关系可表示为第一节复数及其运算二、复数的代数运算设复数，，定义与的四则运算如下：加法：减法：乘法：除法：复数四则运算规律：(1)加法交换律(2)乘法交换律(3)加法结合律(4)乘法结合律(5)乘法对于加法的分配律复数运算的其它结果：(1)(2)(3)若，则与至少有一个为零，反之亦然。共轭复数的运算性质：(1)(2)(3）(4)

6、(5)(6)(7)为实数。例1化简解：例2设，求及。解：则所以例3设是任意两个复数，求证：证明：利用公式可得由复数z=x+iy的定义可知，复数是由一对有序实数(x,y)惟一确定的，于是可建立全体复数和xoy平面上的全部点之间的一一对应关系，即用横坐标为x，纵坐标为y的点P(x,y)表示复数z=x+iy，这是一种几何表示法，通常称为点表示，并将点z与数z看作同义词。第二节复数的几何表示一.复平面1.复数的几何表示2.复数的向量表示复数z=x+iy还可以用起点为原点，终点为P(x,y)的向量来表示，x与y分别是在x轴与

7、y轴上的投影。这样，复数与平面上的向量之间也建立了一一对应关系。即3.复数的模与辐角向量的长度称为复数z=x+iy的模，记作

8、z

9、或r，即性质：两个重要不等式：两边之和大于第三边两边之差小于第三边设复数z≠0对应的向量为,与实轴正方向所夹的角θ，称为复数z=x+iy的辐角,记作，即。其满足规定：θ按逆时针方向取值为正，顺时针方向取值为负。显然任何一个复数z≠0的辐角有无穷多个，彼此两个辐角之间相差2π的整数倍，即若θ1是其中的一个辐角，则复数z的全部辐角为当z=0时,

10、z

11、=0，而幅角不确定。当z≠0，辐角主值Ar

12、gz可由下列关系确定：说明：当z在第二象限时，5.复数的指数表示式称为复数z的指数表示式。4.复数的三角表示式称为复数z的三角表示式。答疑解惑答：不能，实数能比较大小，是因为实数是有序的；而复数是无序的，所以不能比较大小。假设复数有大小，其大小关系应与实数中大小关系保持一致，不妨取0和i加以讨论：1、复数能否比较大小，为什么？注意：复数的模、实部和虚部都是实