高等数学微积分第3章第1节导数概念

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1、第三章导数与微分第三章导数与微分第一节导数的概念第二节求导法则第三节反函数、复合函数、隐函数的导数第四节导数公式第五节高阶导数第六节微分第七节导数在经济上的简单应用1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，2.掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算导数，会求反函数与隐函数的导数.法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程.3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.4.了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.本章基本要求本章重点、难点重点

2、：导数与微分的计算.难点：分段函数分界点处可导性的讨论、隐函数求导.第一节导数概念一、引出导数概念的例子1、变速直线运动的速度已知求解(1)(2)(3)2、平面曲线的切线的斜率切线割线2、平面曲线的切线的斜率解二、导数的定义定义3.1设函数有定义,在点的某邻域内对自变量在点处的任一改变量函数的相应改变量为如果极限存在,则称函数在点点处可导(或导数存在).并称此极限值为的可导点,为在点处的导数(或微商).注(1)记号(2)、、、、(3)求导三步曲:例1求函数y=x2在点x=3处的导数.解讨论导数另一定义形式定义3.1′设函数在点的某邻域内有定义,如果极限存在,(第二定义

3、)则称函数在点点可导(或导数存在).并称此极限值为的可导点,为在点导数(或微商).的第一个定义做证明题方便,第二个定义讨论分段函数分界点处导数方便.三、导数的几何意义的几何意义是:处的切线方程为:曲线在点处的切线斜率.曲线在点例2求曲线y=x2在点(3,9)处的切线方程.解因此所求切线方程为即函数在点的导数处的法线方程为:曲线在点例2求曲线y=x2在点(3,9)处的法线方程.解因此所求法线方程为即四、左导数和右导数定义3.2如果极限值为存在,在点处的右导数,记作则称此极限如果极限值为存在,在点处的左导数,记作则称此极限如果极限值为存在,在点处的右导数,记作则称此极限如

4、果极限值为存在,在点处的左导数,记作则称此极限定义3.2′注例3讨论函数在解故不存在.处的可导性.分段函数求分界点处的导数时注意(1)用定义(2)一般分左右导数(3)如果分界点左右两边函数表达式一样,则不分左右导数.(4)求左右导数时,函数值固定不变.五、可导与连续的关系所以由可得如果函数y=f(x)在点处可导,则它在点x0处一定连续.因为函数y=f(x)在点x0处可导,故连续.定理3.1证1.可导必连续2.连续不一定可导3.不连续一定不可导4.不可导不一定不连续例4讨论函数在点x=0及x=1处的连续性与可导性.解①在点x=0处的连续性故不连续,从而不可导.三者不等②

5、在点x=1处的可导性故函数可导,从而连续.例5已知求使得函数在点可导.解所以六、导函数定义称为函数y=f(x)在开区间(a,b)内对x的如果函数在某区间(a,b)内每一点x处都可导，则称f(x)在区间(a,b)内可导.导函数,简称为导数.(1)记号:(2)(3)求导函数三步曲:、、、例6求的导函数.解例7求的导函数.解例8求的导函数.解特别地例9求的导函数.解注求导公式作业题习题三(A)1、2、3、4、5、6、7、8.