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1、第一节直与曲第二节常量与变量第三节连续与间断第四节有限与无限第五节抽象与具体第六节局部与整体第七节偶然性与必然性高等数学中的辩证思想方法退出第一节直与曲直与曲是两个完全不同的数学概念.从直观形象看，前者平直后者弯曲；从几何特性来看，前者曲率为0，后者曲率不恒为0；从代数表达式来看，前者是线性方程，后者是非线性方程.因此,直与曲的差别是明显的,那么这两个差别如此显著的对立概念是否存在内在联系，能否在一定条件下互相转化呢？恩格斯曾经指出，“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾，在一定条件下直线和曲线应当是一
2、回事.”高等数学正是利用直与曲以及其它一些矛盾的转化达到了初等数学所不能达到的目的.返回从高等数学的思想方法中可以看出，直与曲除了有非直即曲的一面，也存在亦直亦曲的一面.存在直与曲之间的中介状态，通过这个中介状态实现直与曲的转化.比如，曲线的渐近线是指,在曲线无限延伸时与一条定直线“无限接近，但永不相交”,其数学表达式如下确定:设曲线为y＝f（x），其渐近线为y=kx＋b，则问：对于任意大的正数X,曲线y=f(x)上当>X时的那一部分是曲线还是直线？返回答案当然应该是曲线，因为这部分是整个曲线y＝f（x
3、）的一部分，这部分上每一点的曲率都不为0.但它又很象直线，而且延伸越远就越象直线,虽然每点曲率均不为0，但在延伸过程中，曲率无限趋近于0.因此，在无限延伸部分就很难分出它是直线还是曲线，可以说它是“亦直亦曲”，是直线与曲线之间的一种中间状态.既是带有直线性质的曲线，也是具有“曲”性的“直线”，是直与曲对立的“中介”，它处于“亦直亦曲”的状态.返回在高等数学中，利用直与曲的这种中介状态,实现局部范围内的“以直代曲”，是高等数学中的一种基本的辩证思想方法.例1．求曲边梯形的面积.第一步：化整为零.首先，把曲
4、边梯形的底边任意分成n段，然后以每一小段为底边，用平行于y轴的直线把曲边梯形分割成n个小的曲边梯形.第二步:以直代曲.在每个小曲边梯形中把曲边看成直边，于是就可以用这些小“直边矩形”的面积近似地代小曲边梯形的面积.这样在分割的条件下实现了局部的“以直代曲”.返回第四步：取极限.通过取极限，再把分割无限加细，近似程度会越来越高，从而使小直边矩形面积的和转化为原来曲边梯形的面积.这样一来，局部的“直”经过无限积累又反过来转化为整体的“曲”，最后得出了曲边梯形的面积.这就是定积分定义中分割、求和、取极限的辩证
5、思维过程.第三步：积零为整.把n个小“直边矩形”的面积累加起来，用这n个小直边矩形的面积之和在整体上近似地代替原曲边梯形的面积.这种代替当然是有误差的,为了消除这种误差，还需进行第四步.返回例2已知物体Ω在区间[a,b]上任意一点x处的平行截面积为A(x),求物体的体积V.微元法：在任意一点x处作x的微元dx,过x与x+dx作垂直于x轴的平面,截得物体Ω的面积分别为A(x)与A(x+dx).一般地说，A(x)与A(x+dx)是不相等的，从物体Ω中截得的部分是以A(x)与A(x+dx)为上、下底的曲柱体.
6、但由于dx很小,因此可以“以直代曲”.将截得的曲柱体近似的看作以A(x)为底，以dx为高的直柱体,于是得体积微元A(x)dx(图5-4).然后将体积微元在[a,b]上累积起来，就得到物体Ω的体积V.返回例3已测得某水库深水体积V(万方)和水深H(米)之间的对应数值表H((米)05101520253035V(万方)01545119205315460610利用描点法描出的曲线近似抛面线返回假设V=aH2,作变换H2=h,V=v,曲线方程V=aH2转化为直线方程v=ah,得对应的数值表h=H202510022
7、54006259001225v01545119205310460610在hv直角坐标系中描点，用直线型经验公式可确定出v=0.504h.然后再代回曲线方程，得V=0.504H2.返回必须指出：“直曲转化”是有条件的，并非任何情况下都可“以直代曲”.如，求半径为r的半圆周长.如果我们不是用弦来代替圆弧，而是用平行于直径的线段来代替圆弧,则结果求得半圆周长为2r;返回如果我们用平行于直径的线段与垂直，于直径的线段构成的折线段来代替圆弧，则结果求得半圆周长为4r.这些显然都是错误结论.错误的根本原因在于“以直
8、代曲”过程中，并不是用等价无穷小去代替.因此，在将直曲转化的辩证思想运用到具体问题中时，必须注意可转化的条件.第二节常量与变量一、常量在一定条件下具有任意性比如，数列极限定义中的ε又如，不定积分中的积分常数C二、常量与变量的相对性高等数学被称为变量数学，这是相对于初等数学而言的.其实在高等数学中，常量与变量既有着严格的区分，又相互依存，相互渗透，在一定条件下相互转化.返回如，在函数概念中，常量与变量是对于某一过程而言的.例如，某架飞机从甲地
