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1、无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数值计算第十二章无穷级数常数项级数幂级数傅里叶级数函数项级数常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件*四、柯西审敛原理第一节第十二章一、常数项级数的概念引例1依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积A.设a0表示即内接正三角形面积,ak表示边数增加时增加的面积,则圆内接正用圆内接正多边形面积逼近圆面积.引例2定义给定一个数列将各项依即级数的前n项和次相加,简记为收敛,则称无穷级数记作称上式为无穷级数，其中第n项叫做级数的一般项,称为级数的部分和.并称S为级数的,和当级数收敛时,称
2、差值显然则称无穷级数发散.为级数的余项.即是误差用近似值代替和所产生的是这个余项的绝误差对值，例1(又称几何级数)(q称为公比)的敛散性.解从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为讨论等比级数1)若2)若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而综合1)、2)可知，对于等比级数时,等比级数收敛，其和为时,等比级数发散.则级数成为不存在,因此级数发散.解已知级数为等比级数，例2公比原级数发散.2）1）已知级数为等比级数，公比原级数收敛.例3解所以级数(1)发散;技巧:利用“拆项相消”求和判别下列级数的敛散性:(1)(2)所以级数(2)收敛,其和为1.(3)显然，有因此
3、所给级数是发散的.例4判别级数的敛散性.解故原级数收敛,其和为二、收敛级数的基本性质性质1收敛于S,则各项乘以常数c所得级数也收敛,证则这说明收敛,其和为cS.说明:即其和为cS.若级数令级数各项乘以后其敛散性不变.非零常数性质2则级数也收敛,其和为证则这说明级数也收敛,其和为设有两个收敛级数令说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级数都发散,不一定发散.例如,(1)性质2表明收敛级数可逐项相加或相减.(用反证法可证)性质3级数的敛散性.证的前k项去掉,的部分和为数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两
4、级所得新级数将级数在级数中,不会影响加上、去掉或改变有限项性质4收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列为原级数部分和序列的一个子序列,推论:注意:但发散.因此必有例如，用反证法可证例如设收敛级数若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.三、级数收敛的必要条件设收敛级数则必有证可见:例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.注意:并非级数收敛的充分条件.例如,虽然但此级数发散.事实上,假设调和级数收敛于S,则但矛盾!所以假设不真.调和级数例5解发散,从
5、而原级数发散.判断级数的敛散性:考虑加括号后的级数例6解则故从而这说明级数(1)发散.判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:(1)令因进行拆项相消这说明原级数收敛,其和为(2)这说明原级数收敛,其和为3.(3)的充要条件是:*四、柯西审敛原理定理有例7解有利用柯西审敛原理判别级数当n﹥N时,都有由柯西审敛原理可知,级数
