高等数学下12.2常数项级数的审敛法

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1、§2.常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法定义:如果级数un中各项均有un0，n1这种级数称为正项级数.部分和数列{sn}为单调增加数列.ssss123n正项级数收敛的充要条件:定理正项级数收敛部分和数列{sn}有界一、正项级数及其审敛法1.比较判别法设un和vn均为正项级数，n1n1且unvn(n1,2,)若vn收敛,则un收敛；n1n1反之，若un发散，则vn发散.n1n1正项级数收敛部分和所成的数列s有界.n证明(1)设vunvn,nn1且suuuvvv

2、,n12n12n即部分和数列有界un收敛.n1正项级数收敛部分和所成的数列s有界.n1.比较判别法设un和vn均为正项级数，n1n1且unvn(n1,2,),若vn收敛,则un收敛；n1n1反之，若un发散，则vn发散.vnn1n1n1正项级数收敛部分和所成的数列s有界.n(2)设un发散，有sn()n且unvn,n1nnsn不是有界数列v发散.定理证毕.nn11.比较判别法设un和vn均为正项级数，n1n1且unvn(n1,2,),若vn收

3、敛,则un收敛；n1n1反之，若un发散，则vn发散.n1n1推论:若un收敛(发散)且n1vnkun(nN)(kunvn)则vn收敛(发散).n1比较判别（审敛）法的不便:须有参考级数.一、正项级数及其审敛法1.比较判别法设un和vn均为正项级数，n1n1且unvn(n1,2,),若vn收敛,则un收敛；n1n1反之，若un发散，则vn发散.n1n1例1讨论P-级数11111的收敛性.(p0)pppp234n11解设p1,p,则P级数发散.nn一、正项级数及

4、其审敛法例1讨论P-级数11111的收敛性.(p0)pppp234n11解设p1,p,则P级数发散.nn设p1,y1ndx由图可知S矩＝npn1xp＝S曲1y(p1)p111xsn1ppp23nxo12342dxndx1ppn1n1xn1x例1讨论P-级数11111的收敛性.(p0)pppp234n11,则P级数发散.设p1,npn1112dxndx设p1,sn1ppp1pp23n11xxnndx1111p1(1p1)11

5、xp1np1即s有界,则P级数收敛.np1,收敛P-级数p1,发散重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.例1讨论等比级数(几何级数)n2naqaaqaqaq(a0)n0当q1时,收敛n的收敛性.aqn0当q1时,发散111例如调和级数1发散23n例1讨论P-级数11111的收敛性.(p0)pppp234n当p1时,收敛P级数当p1时,发散一、正项级数及其审敛法比较判别法的极限形式:un设u与v都是正项级数,如果liml,nnnvn1n1n

6、则(1)当0l时,二级数有相同的敛散性(2)当l0时，若vn收敛,则un收敛n1n1(3)当l时,若vn发散则un发散;n1n1一、正项级数及其审敛法un设un与vn都是正项级数,如果liml,nvn1n1n则(1)当0l时,二级数有相同的敛散性证明unl(1)由liml取0,N,当nN时,nv2nlunl即lvu3lv(nN)llnnn2v222n由比较审敛法的推论,得证.un设u与v都是正项级数,如果liml,nnnvn1n1n则(1)当0l

7、时,二级数有相同的敛散性(2)当l0时，若vn收敛,则un收敛n1n1(3)当l时,若vn发散则un发散;n1n1极限判别法：设un为正项级数,n1如果limnunl0(或limnun)nn则级数u发散;nn1un设un与vn都是正项级数,如果liml,nvn1n1n则(1)当0l时,二级数有相同的敛散性(2)当l0时，若vn收敛,则un收敛n1n1(3)当l时,若vn发散则un发散;n1n1极限判别法：设un为正项级数,n1p如果有p

8、1,limnun存在,