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时间:2019-08-14
《高考解答题型十含参数的不等式恒成立》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、题型十 含参数不等式的恒成立问题(推荐时间:30分钟)1.已知函数f(x)=ax2+bx+c+lnx.(1)当a=b时,若函数f(x)在定义域上是单调函数,求实数a的取值范围;(2)设函数f(x)在x=,x=1处取得极值,且f(1)=-1,若对任意的x∈,f(x)≤m恒成立,求m的取值范围.(参考数据:e≈2.7)2.(2011·湖北)设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中x∈R,a、b为常数,已知曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.(1)求a、b的值,并写出切线l的方程;(2)若方程f(x)+g(x)=mx有三个互不相同的实根0、x
2、1、x2,其中x10).当a=0时,f′(x)=>0,此时f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,∵x>0,∴2ax2+ax+1>0,∴f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a<0时,设g(x)=2ax2+ax+1,函数g(x)在上单调递减,且g(0)=1>0,故在(0,+∞)上,函数g(x)的符号不确定,即此时f′(x)的符号不确定,所以函数f(x)在(0,+∞)上不单
3、调.综上可知,a的取值范围是[0,+∞).(2)由题意得f′(x)=2ax+b+=,∵f(x)在x=,x=1处取得极值,∴f′(1)=f′=0,即,∴,即f′(x)==,且f(x)=x2-3x+c+lnx.又∵f(1)=-1,∴1-3+c=-1,得c=1,∴f(x)=x2-3x+1+lnx.∵当x∈时,f′(x)>0,∴函数f(x)在上单调递增;∵当x∈时,f′(x)<0,∴函数f(x)在上单调递减;∵当x∈(1,2]时,f′(x)>0,∴函数f(x)在(1,2]上单调递增.∴f(x)极大值=f=-+1+ln=--ln2,而f(2)=-1+ln2,f(2)-f=-+ln4=ln4-lne,由于
4、4>e>e,故f(2)>f,∴f(x)max=-1+ln2,∴m≥-1+ln2.2.解 (1)f′(x)=3x2+4ax+b,g′(x)=2x-3.由于曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线,故有f(2)=g(2)=0,f′(2)=g′(2)=1,由此得解得所以切线l的方程为x-y-2=0.(2)由(1)得f(x)=x3-4x2+5x-2,所以f(x)+g(x)=x3-3x2+2x.依题意,方程x(x2-3x+2-m)=0有三个互不相同的实根0、x1、x2,故x1、x2是方程x2-3x+2-m=0的两相异的实根,所以Δ=9-4(2-m)>0,即m>-.又对任意的x∈[x1,
5、x2],f(x)+g(x)0,x1x2=2-m>0.故00,所以f(x)+g(x)-mx=x(x-x1)(x-x2)≤0.又f(x1)+g(x1)-mx1=0,所以函数f(x)+g(x)-mx在x∈[x1,x2]上的最大值为0.于是当m<0时,对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)
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