第四章 中值定理及导数应用

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1、第四章中值定理及导数应用一、【重点】1．罗尔定理、拉格朗日中值定理；2．洛必达法则；3．函数单调性的判别法；4．曲线凹凸性的判别法；5．函数极值的求法；6．函数作图法；7．函数最大值和最小值在经济中应用。二、【难点】1．利用中值定理证等式和不等式；2．利用泰勒公式作近似计算；3．函数图形的描绘。三、【基本概念与定理】1．函数极值定义：设函数在内有定义，是内一个点，如果存在点的一去心邻域，对这个去心邻域的任何，总有，则称是函数的一个极大值；如果存在点的一去心邻域，对这个去心邻域的任何，总有，则称是函数的一个极小值；函数的极大值和极小值统称极值，使函数取得极值的点称为极值点；2．曲线凹凸与拐点定

2、义：设在区间I上连续，如果对I上任意两点，恒有，那么称在区间I上的图形是凹的；如果恒有，那么称在区间I上的图形是凸的；曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点；3．罗尔定理：设满足条件：（1）在闭区间连续；（2）在开区间可导；（3），那么至少存在一点，使得；4．拉格朗日中值定理：设满足条件：（1）在闭区间连续；（2）在开区间可导，那么至少存在一点，使得；5．柯西中值定理：设、满足条件：（1）在闭区间连续；（2）在开区间可导，那么至少存在一点，使得；6．函数单调性的判别法：设在闭区间连续，在开区间可导，（1）若在内，则在上单调增加；（2）若在内，则在上单调减少；7．极值存在必要条件：设在处可导，且在处

3、取极值，那么8．判别极值的第一充分条件：设在处连续，且在的去心邻域内可导，又或不存在，（1）若当时，，而当时，，则为的一个极大值；（2）若当时，，而当时，，则为的一个极小值；9．判别极值的第二充分条件：设在处有二阶导数且，，则（1）当，为的一个极大值；（2）当，为的一个极小值；10．曲线凹凸性判别定理：设在区间I有二阶导数，（1）如果在I内，那么曲线在I内是凹弧；（2）如果在I内，那么曲线在I内是凸弧；四、【基本公式与法则】1．麦克劳林公式：设在含的某个开区间内具有直到阶导数，则当时，其中2．泰勒公式：设在含的某个开区间内具有直到阶导数，则当时，其中（在与之间）3．型洛必达法则：设（1）（2

4、）在的去心邻域(或)，都存在，且；（3）(或为)，那么或。4．型洛必达法则：设（1）（2）在的去心邻域(或)，都存在，且；（3）(或为)，那么或。