冯惠愚--赛题选讲

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1、江苏省数学夏令营讲座：竞赛题选讲冯惠愚2012．07．16．竟赛题选讲例1．能否存在这样的多项式P(x)，它至少有一个系数是负的，而[P(x)]n，n＞1的系数都是正的．例2．设实数a，b，c满足a＋b＋c＝3，求证：＋＋≤．例3．实数a，b，c和正数λ使得f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有三个实根x1，x2，x3，且满足⑴x2－x1＝λ；⑵x3＞(x1＋x2)．求的最大值．4江苏省数学夏令营讲座：竞赛题选讲冯惠愚2012．07．16．例4．在不超过1020的完全平方数中，是其从个位向前数第17位数为7的数多．还是从个位向前数第17位数为

2、8的数多？例5．设X是有限集，n0是给定的正整数，法则f使X的每一个偶子集E(由偶数个元素组成的子集)，都对应一个实数f(E)，已知：⑴存在X的一个偶子集D，使f(D)＞n0；⑵对X的任意两个不交的偶子集A与B，f(A∪B)＝f(A)＋f(B)－n0．求证：存在X的子集P与Q，使(a)P∪Q＝X，P∩Q＝Æ；(b)对P的任意非空偶子集S，有f(S)＞n0；(c)对Q的任意偶子集T，有f(T)≤n0．例6．给定整数n(n≥3)，设A1，A2，…，A2n是集合{1，2，…，n}的两两不同的非空子集，记A2n＋1＝A1．求的最大值．4江苏省数学

3、夏令营讲座：竞赛题选讲冯惠愚2012．07．16．例7．n名儿童希望把m块相同的巧克力分成重量相等的n份．规定每块巧克力至多被分成两块．⑴如果m＝9，那么怎样的n，上述要求能实现？⑵更一般地，对怎样的n与m，上述要求能实现？例8．有100筐水果，每筐中放了一些苹果与梨子，求证：可以从中找出34筐，使这34筐中的苹果与梨子的重量都不少于苹果与梨子总重量的．例9．设n为正整数，AÍ{1，2，…，n}，A中任两个数的最小公倍数都不超过n，求证：

4、A

5、≤1.9＋5．4江苏省数学夏令营讲座：竞赛题选讲冯惠愚2012．07．16．例10．设an是下述

6、自然数N的个数：N的各位数字之和为n且每位数字只能取1、3或4．求证：a2n是完全平方数．这里，n=1，2，…．例11．P为△ABC内一点，AP、BP、CP与△ABC的外接圆O分别交于K、L、M．⊙O的在点C处的切线交AB延长线于点S，若SC＝SP，证明：MK＝ML．例12．如图，已知∆ABC内切圆I分别切边AB，BC于点F，D，直线AD，CF分别交⊙I于另一点H，K．求证：＝3．4