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1、简单曲线的极坐标方程3、极坐标与直角坐标的互化公式复习1、极坐标系的四要素2、点与其极坐标一一对应的条件极点;极轴;长度单位;角度单位及它的正方向。探究:如图,半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a>0),你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件?xC(a,0)OMA(,)曲线的极坐标方程一定义:如果曲线C上的点与方程f(,)=0有如下关系(1)曲线C上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程f(,)=0;(2)以方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线C上。则曲线C的方程是f(,)=0。二求曲线
2、的极坐标方程的步骤:与直角坐标系里的情况一样①建系(适当的极坐标系)②设点(设M(,)为要求方程的曲线上任意一点)③列等式(构造⊿,利用三角形边角关系的定理列关于M的等式)④将等式坐标化⑤化简(此方程f(,)=0即为曲线的方程)例1、已知圆O的半径为r,建立怎样的极坐标系,可以使圆的极坐标方程简单?xOrM你可以用极坐标方程直接来求吗?练习1求下列圆的极坐标方程(1)中心在极点,半径为2;(2)中心在C(a,0),半径为a;(3)中心在(a,/2),半径为a;(4)中心在C(0,0),半径为r。=2=2acos=2as
3、in2+02-20cos(-0)=r2解:设P(ρ,θ)为圆周上任意一点,如下图所示,在△OCP中,CP=r,OC=ρ1,OP=ρ.根据余弦定理,得CP2=OC2+OP2-2OC·OP·cos(θ-θ1),即r2=ρ21+ρ2-2ρ1ρcos(θ-θ1).也就是ρ2-2ρ1ρcos(θ-θ1)+(ρ21-r2)=0.这就是圆在极坐标系中的一般方程.练习21.以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是()()A、双曲线B、椭圆C、抛物线D、圆D()CONMC(4,0)思考:在平面直角坐标系中过点(3,0)且与x轴垂直
4、的直线方程为;过点(2,3)且与y轴垂直的直线方程为x=3y=3四直线的极坐标方程:例1:⑴求过极点,倾斜角为的射线的极坐标方程。oMx﹚(2)求过极点,倾斜角为的射线的极坐标方程。(3)求过极点,倾斜角为的直线的极坐标方程。和和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来,极坐标系里的直线表示起来很不方便,要用两条射线组合而成。原因在哪?为了弥补这个不足,可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为或例2、求过点A(a,0)(a>0),且垂直于极轴的直线L的极坐标方程。(学生们先自己尝试做)解:如图,建立极坐标系,设
5、点ox﹚AM在中有即可以验证,点A的坐标也满足上式。为直线L上除点A外的任意一点,连接OM交流做题心得归纳解题步骤:求直线的极坐标方程步骤1、据题意画出草图;2、设点是直线上任意一点;3、连接MO;4、根据几何条件建立关于的方程,并化简;5、检验并确认所得的方程即为所求。练习1求过点A(a,/2)(a>0),且平行于极轴的直线L的极坐标方程。解:如图,建立极坐标系,设点为直线L上除点A外的任意一点,连接OM在中有即可以验证,点A的坐标也满足上式。Mox﹚Asin=aIOMIsin∠AMO=IOAI课堂练习2设点A的极坐标为,直线过点解
6、:如图,建立极坐标系,设点为直线上异于A点的任意一点,连接OM,在中,由正弦定理得即显然A点也满足上方程A且与极轴所成的角为,求直线的极坐标方程。化简得﹚oMxA﹚例3:设点P的极坐标为,直线过点P且与极轴所成的角为,求直线的极坐标方程。oxMP﹚﹚A解:如图,设点的任意一点,连接OM,则为直线上除点P外由点P的极坐标知设直线L与极轴交于点A。则在中由正弦定理得显然点P的坐标也是上式的解。即练习3求过点P(4,/3)且与极轴夹角为/6的直线的方程。直线的几种极坐标方程1、过极点2、过某个定点垂直于极轴4、过某个定点,且与极轴成的角度a3
7、、过某个定点平行于极轴ox﹚AMMox﹚A﹚ooxMP﹚﹚Asin=a小结:(1)曲线的极坐标方程概念(2)求曲线的极坐标方程的步骤(3)会求圆的极坐标方程(3)会求直线的极坐标方程