三角形的四心&欧拉线的证明

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1、三角形的四心　　三角形的四心是指三角形的重心、外心、内心、垂心。等边三角形的四心重合。一、三角形的重心　　三角形的重心是三角形三条中线的交点。三角形的三条中线必交于一点　　已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连结并延长BO，交AC于点E。  三角形的三条中线必交于一点求证：AE=CE　　证明：延长OE到点G，使OG=OB　　∵OG=OB,∴点O是BG的中点又∵点D是BC的中点∴OD是△BGC的一条中位线∴AD∥CG　　∵点O是BG的中点，点F是AB的中点∴OF是△BGA的一条中位线　∴CF∥AG　　∵AD∥CG，CF∥AG,∴四边形AOCG是平行四边形　∴AC

2、、OG互相平分,∴AE=CE三角形的重心的性质　　1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。　　2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。　　3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。　　4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3　　5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。　　6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。二、三角形的外心　

3、　三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)。三角形的三条垂直平分线必交于一点　　  三角形的三条垂直平分线必交于一点已知：△ABC中，AB,AC的垂直平分线DO,EO相交于点O　　求证：O点在BC的垂直平分线上　　证明：连结AO,BO,CO，∵DO垂直平分AB，∴AO=BO　　∵EO垂直平分AC，∴AO=CO　　∴BO=CO　　即O点在BC的垂直平分线上三角形的外心的性质　　1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.　　2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些

4、三角形的外心重合。　　3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合　　4.OA=OB=OC=R　　5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA5.S△ABC=abc/4R三、三角形的内心　　三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。三角形的三条角平分线必交于一点　　己知：在△ABC中，∠A与∠B的角平分线交于点O，连接OC　　求证：OC平分∠ACB　　证明：过O点作OD,OE,OF分别垂直于AC,BC,AB,垂足分别为D,E,F　　∵AO平分∠BAC,∴OD=OE；∵BO平分∠ABC

5、,∴OD=OF；∴OE=OF　　∴O在∠ACB角平分线上∴CO平分∠ACB三角形的内心的性质　　1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心　　2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r　　3.r=2S/(a+b+c)　　4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．　　5．∠BOC=90°+∠A/2，∠BOA=90°+∠C/2，∠AOC=90°+∠B/2　　6．S△ABC=abc/4R四、三角形的垂心　　三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。三角形的三条高必交于一点　　已知：△ABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交

6、于点O，连接CO并延长交AB于点F  三角形的三条高必交于一点求证：CF⊥AB　　证明：连接DE∵∠ADB=∠AEB=90°,且在AB同旁，　　∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE（同弧上的圆周角相等）　　∵∠EAO=∠DAC∠AEO=∠ADC=90°　　∴△AEO∽△ADC∴AE/AD=AO/AC即AE/AO=AD/AC　　∴ΔEAD∽ΔOAC∴∠ACF=∠ADE=∠ABE　　又∵∠ABE+∠BAC=90°∴∠ACF+∠BAC=90°∴CF⊥AB三角形的垂心的性质　　1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外　　2

7、.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心　　3.垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上　　4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF　　5.H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。　　6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。　　7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC