塞瓦定理入门篇

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1、塞瓦定理　　塞瓦定理　　在△ABC内任取一点O，　　直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1　　证法简介　　（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：　　∵△ADC被直线BOE所截，　　∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1①　　而由△ABD被直线COF所截，∴(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②　　②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1　　（Ⅱ）也可以利用面积关系证明　　∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△AC

2、D-S△COD)=S△AOB/S△AOC③　　同理CE/EA=S△BOC/S△AOB④AF/FB=S△AOC/S△BOC⑤　　③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1　　利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:　　设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，　　根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。　　可用塞瓦定理证明的其他定理;　　三角形三条中线交于一

3、点（重心）:如图5D,E分别为BC,AC中点所以BD=DCAE=EC所以BD/DC=1CE/EA=1　　且因为AF=BF所以AF/FB必等于1所以AF=FB所以三角形三条中线交于一点　　此外，可用定比分点来定义塞瓦定理：　　在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=1。（注意与梅涅劳斯定理相区分，那里是λμν=-1）　　塞瓦定理推论：　　设E是△ABD内任意一点，　　AE、BE、DE分别交对边于C、G、F，则(BC/CD)*(DG/GA)*(A

4、F/FB)=1，（塞瓦定理）　　则(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K（K为未知参数）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（K为未知参数）　　由梅涅劳斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1　　所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1（塞瓦定理推论）