跳出求解概率与统计题的误区

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1、跳出求解概率与统计题的误区文/史忠学一、等可能事件发生的简单概率例1在所有的三位数中，组成没有重复数字的三位数的概率是.(用数字作答)易错诊断部分学生在解答本题时给出的答案是：P==.分子的890个数字中有首位排0的可能，实际上这样的数只是两位数字，另外分母也有类似的情况.教材探源[人教版教材第二册(下B)第93页的例5]用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解析(特殊元素法)我们把0~9这10个数字看成是元素，百位、十位和个位分别看成一个位置，元素0就是特殊元素了.首先考虑这个特殊元素，它不能排在百位上，同时元素不能重复，所以剩

2、余的两个数字在1~9中可以任意取排.故P=.(特殊位置法)把0~9这10个数字看成是元素，百位、十位和个位分别看成一个位置，百位就是特殊位置了.首先考虑这个特殊位置，这个位置上不能排0，其他位置上任意排，只要不重复就可以了.故P=.(分步计数原理)把每个位置分开进行考虑.在所有的三位数中，百位从1~9中任取一个排列，有9种方法；十位从0~9这10个数字中任意取一个排列，有10种方法；个位同十位.在无重复数字中，百位从1~9中任取一个排列，有9种方法；十位从0~9这10个数字当中剩余的9个数字中任意取一个排列，有9种方法；个位再从剩余的8个数字中任意取

3、一个排列，有8种方法.故P=.(间接法)把不符合条件的数从所有数中去掉，剩下的就是符合条件的数了.故P=.小结概率的基础是排列与组合，而上面四种解答方法是排列的基础.我们在进行排列运算时，经常采用的方法就是直接法(特殊元素、特殊位置、分步计数)和间接法.二、互斥事件和相互独立事件同时发生的概率例2电子钟一天显示的时间是从到，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任意一个时刻显示的四个数字之和为23的概率为A.B.C.D.易错诊断部分学生在解答本题时给出的答案是：P=.学生把首位为2时的情况一般化，没有考虑到时间的具体显示只有20、21、22、23这么四种

4、情况.教材探源[人教版教材第二册(下B)第128页的例3]将骰子先后抛掷2次，计算：(1)一共有多少种不同的结果？(2)其中向上的数之和是5的结果有多少种？(3)向上的数之和是5的概率是多少？解析对于每一个时刻的数字组成，从左起第一位只能是0、1、2.当首位是0或1时，第二位有0~9共10个选择；当首位是2时，第二位只能从0~3中选择，有4种方法选择，第三位从0~5中选择，有6种方法选择，第四位从0~9中选择，有10种方法选择，所以一天中所有时刻有(2×10+4)×6×10=1440种.对于四个数字之和为23的时刻，当首位是0时，由于第三位的最大数字

5、是5，所以只有09：59符合条件；当首位是1时，由于第二位和第四位的数字之和最大为18，即都是9(9+9=18)，所以第三位数字只能是4或5，于是有19：49、18：49、19：58三种情况；当首位是2时，各位数字之和最大的情况是23：59，而这四个数字的和是19，小于23，所以此时没有符合条件的时刻.故P=.小结只要我们在解答课本的例题和习题时能够非常熟练，就可以找到我们平常的训练思路，就可以在考试中找到解决问题的方法和依据，也就可以达到在解题时提醒我们利用相似解法的目的.三、相互独立和独立重复概率以及离散型随机变量的分布列、期望与方差例3购买某种

6、保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一个年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金.假定在一个年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一个年度内至少支付赔偿金10000元的概率为.(1)求一个投保人在一个年度内出险的概率.(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元).易错诊断部分学生对“至少问题”的分类不准确，这是高中数学的难点，对于文科生来说可能难度更大.当我们正面回答问题不容易时，可以考虑从问题的

7、反面来思考，利用间接法求解.教材探源[人教版教材第二册(下B)第123页的引言问题]若干门同一种大炮同时对某一目标射击一次.已知每门大炮射击一次击中目标的概率(可能性的大小)是0.3，那么要用多少门这样的大炮同时射击一次，才能使目标被击中的概率超过95%？解析各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，记投保的10000人中出险的人数为，则.(1)记表示事件“保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金”，则发生当且仅当，.又，故.(2)该险种的总收入为元，支出是赔偿金总额与成本的和.支出为，盈利为，于是盈利的期望为，由可知，，．(元).故每位投保人应

8、交纳的最低保费为15元.小结解决此类问题往往分成n种类型，学生对每种类型的情况都应该清楚，然后看用直接法解决