概率论与数理统计复习知识概括

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1、概率论与数理统计复习第一章概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.样本空间S:E的所有可能结果组成的集合.样本点(基本事件):E的每个结果.随机事件(事件):样本空间S的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件.不可能事件(F):每次试验中一定不会发生的事件.二.事件间的关系和运算1.AB(事件B包含事件A)事件A发生必然导致事件B发生.2.A∪B(和事件)事件A与B

2、至少有一个发生.3.A∩B=AB(积事件)事件A与B同时发生.4.A-B(差事件)事件A发生而B不发生.5.AB=F(A与B互不相容或互斥)事件A与B不能同时发生.6.AB=F且A∪B=S(A与B互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A与B必有一个且仅有一个发生.B=A,A=B.运算规则交换律结合律分配律德•摩根律三.概率的定义与性质1.定义对于E的每一事件A赋予一个实数,记为P(A),称为事件A的概率.(1)非负性P(A)≥0;(2)归一性或规范性P(S)=1;(3)可列可加性对于两两互不相容的事件A1,A2,…(AiAj

3、=φ,i≠j,i,j=1,2,…),P(A1∪A2∪…)=P(A1)+P(A2)+…2.性质(1)P(F)=0,注意:A为不可能事件P(A)=0.(2)有限可加性对于n个两两互不相容的事件A1,A2,…,An,P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)(有限可加性与可列可加性合称加法定理)(3)若AB,则P(A)≤P(B),P(B-A)=P(B)-P(A).(4)对于任一事件A,P(A)≤1,P(A)=1-P(A).(5)广义加法定理对于任意二事件A,B,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)

4、.对于任意n个事件A1,A2,…,An…+(-1)n-1P(A1A2…An)四.等可能(古典)概型1.定义如果试验E满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e1,e2,…,en};(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e1)=P(e2)=…=P(en).则称试验E所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2.计算公式P(A)=k/n其中k是A中包含的基本事件数,n是S中包含的基本事件总数.五.条件概率1.定义事件A发生的条件下事件B发生的条件概率P(B

5、A)=P(AB)/P(A)(P(A)>0).2.乘法定理P(AB)=

6、P(A)P(B

7、A)(P(A)>0);P(AB)=P(B)P(A

8、B)(P(B)>0).P(A1A2…An)=P(A1)P(A2

9、A1)P(A3

10、A1A2)…P(An

11、A1A2…An-1)(n≥2,P(A1A2…An-1)>0)3.B1,B2,…,Bn是样本空间S的一个划分(BiBj=φ,i≠j,i,j=1,2,…,n,B1∪B2∪…∪Bn=S),则当P(Bi)>0时,有全概率公式P(A)=8当P(A)>0,P(Bi)>0时,有贝叶斯公式P(Bi

12、A)=.六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足P(AB)=P(A)P(B)

13、时,称A,B为相互独立的事件.(1)两个事件A,B相互独立ÛP(B)=P(B

14、A).(2)若A与B,A与,与B,,与中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.2.三个事件A,B,C满足P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),称A,B,C三事件两两相互独立.若再满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C),则称A,B,C三事件相互独立.3.n个事件A1,A2,…,An,如果对任意k(1

15、二章随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X(e)称为随机变量.2.随机变量X的分布函数F(x)=P{X≤x},x是任意实数.其性质为:(1)0≤F(x)≤1,F(-∞)=0,F(∞)=1.(2)F(x)单调不减,即若x1

16、(k=1,2,…)也可以列表表示.其性质为:(1)非负性0≤Pk≤1;(2)归一性.2.离散型随机变量的分布函数F(x)=为阶梯函数,它在x=xk(k=1,2,…)处具有跳跃点,其跳跃值为pk=P{X=xk}.3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)X~(0-1)分布P{X=1}=p,P{X=0}=1–