方程的图形法迭代法直接法(第1次课

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1、第二讲方程及方程组解法(上)方程:工程计算和科学分析的发动机。若干世纪来，方程是工程师和数学家花费大量时间进行研究的课题，即有古老的算法（如二分法），也有新颖的发现（如迭代的分形与混沌现象）本讲主要介绍非线性方程的实用解法，对线性方程组及数值分析中的矩阵分解法略作介绍：图形放大法（不要苛求精确解！）简单迭代法（迭代函数的选取~）加速迭代法（加权平均的思想~）线性方程组解的存在性线性方程组的矩阵形式：AX=BAX=B的解可能出现三种情况：有解/无解/无穷解A=[121;231;1-1-2];B=[1;3;0];AB=[A,B];rank(A)==rank(AB)%ans=0故原方程组无

2、解A=[01-34;10-23;320-5;43-50];B=[-5;-4;12;5];AB=[A,B];rank(A)==rank(AB)%ans=1有唯一解线性方程组AX=B的求解A=[01-34;10-23;320-5;43-50];B=[-5;-4;12;5];rank(A)==rank([A,B])x=AB%方法1：矩阵左除运算x=inv(A)*B%方法2：逆矩阵求解法(须方阵)[L,U]=lu(A);%方法3：LU分解法x=U(LB)[Q,R]=qr(A);%方法4：QR分解法x=R(QB)rref([A,B])%方法5：rref化行最简形…p13~代数方程求

3、根公式的探寻...求解非线性方程更一般的方法我们面对的大多数方程（组）都是非线性的。定义：一些由实际问题列出的方程中常常包含三角函数、指数函数等，它们与n>=2代数方程一起统称为非线性方程（组）例如：3x-ex=0；xsinx=1；x2-3x+ex-2所以，求解这一类方程（组）更具现实意义：计算机技术和数学软件技术的飞速发展为我们实现经典方法（比如二分法）、创新新方法（比如图形放大法）提供了极大便利，甚至衍生出一些崭新的学科方向（比如课本第3章提到的分形与混沌）最简捷和最一目了然的方法？图形放大法的最大优点在于：简捷和直观，同时也为后继的迭代法和函数法提供了可参考的初值条件演练一：p

4、10，2.1x=-6:.001:6;plot(x,x.^5+2*x.^2+4,[-6,6],[0,0],'r-','linewidth',2)%参考线gridon;axis([-22-200200])%坐标区域重定义演练二：求解方程8x5-12x4-26x3-13x2+58x+30=0fplot('8*x^5-12*x^4-26*x^3-13*x^2+58*x+30',[-1,3]);set(findobj('type','line'),'linewidth',3);holdon;line([-55],[00],'color','r','linewidth',3);★注意以上程序中作

5、参考线(X轴)的几种方法最简捷和最一目了然的方法？图形放大法的最大局限在于：作图的显示精度以及数值的读取精度，一般不作为方程求解实际方法演练三：求解非线性方程组ezplot('x^2+y^2-5',[-2.5,2.5,-2.5,2.5]);%定义作图区间holdon;ezplot('x*y-3*x+y-1',[-2.5,2.5,-2.5,2.5]);gridon;set(findobj('type','line'),'color','r','linewidth',2);%加粗局限：坐标刻度默认显示精度为小数点后4位提供一个控制函数：tickmore('w',n)tickmore('x

6、',6);tickmore('x',6);图形放大法的步骤和技巧：方程f(x)=0(1)建立坐标系，画曲线f(x)(2)观察曲线f(x)与x轴的交点(3)将其中一个交点局部放大(4)该交点的横坐标值就是方程的根技巧关键字（提高你的效率）：步进精度选择（要足够适应放大倍数~）坐标区域设定（方便直观准确地读数~）交点追踪（强调x轴,双击reset,放大适可+tickmore）延伸：能不能写出不需人工干预的图形放大法？图形放大法的步骤和技巧：交点放大提取矩阵特征简单迭代法（迭代收敛的情形）回到早先我们接触的引例：3x-ex=0xn+1=(xn),n=0,1,2...,x0迭代过程的图形化

7、体现...迭代过程体现在图像上如下图所示：迭代算法的步骤与技巧：方程f(x)=0(1)经过简单变形，化为xn+1=(xn),n=0,1,2...(2)*绘出y=x和y=(x)的图形，并观察(3)确定迭代初值x0，并代入程序进行迭代(4)序列发散回到第1步；收敛获得求解技巧关键字（提高你的效率）：迭代格式的确定（是否唯一,是否一定收敛？）迭代初值的选择（迭代与初值选择是否有关?）迭代存在的缺陷（迭代能否逼近所有的解？）演练：在讲解加速迭代法后一齐举例