数学物理方程第一章-复变函数

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1、第一篇复变函数论复变函数微分和积分泰勒展开和洛朗展开留数定理傅立叶变换拉普拉斯变换zyx11O第一章复变函数代数表示:x,y为实数，i为单位虚数，则且x为其实部，y为虚部，记1.1.复数为复数且和主值复共轭又称为模其它概念x轴为实轴，y轴为虚轴，构成复数平面复数z为此平面上的一点几何表示从几何上看，复数又是此平面上的一个矢量为矢量长度为幅角记复数的运算加法减法乘法除法幂（n整数）根逼近测地投影和无限远点如左图，一球的南极与复数平面的原点相切，平面上任意点A与球的北极由一条直线相连，直线与球相交于A’。由此，每一有限的复数投影到球上一点。这个投影叫测地投影，这个球叫复数球。所有的无穷大

2、复数（平面上无限远点）投影到唯一的北极N。故我们为方便，将无穷远点看作一个点。其模无穷大，幅角无意义。复数z是两个独立变量(x,y)的集合。它在数值计算中是一个整体，服从通常的四则运算规则和虚单位的特殊规则；它可以看作具有两个独立分量的量来表示（矢量）和计算。小结1.2.复变函数比较与实变函数相对应的定义实函数：xx定义域、值域y=f(x)y=f(x)复函数定义域值域定义在复平面上一点集E中每一点，都有一个或几个复数与之对应，称为z的函数，E为定义域，记定义域值域E实函数：定义:对于实数域中一区域B中的每一实数x，都有唯一的一个实数y与之对应。则称y为x的函数。B为此函数的定义域，记

3、。连续，可微：n次可微无限可微邻域区域B的内点外点境界点境界线区域内点组成的连通集合闭区域区域和境界线的全体全体境界点的集合不是内点，也不是外点的点。z和它的邻域都不属于B，则z为B的外点。z和它的邻域都属于B，则z为B的内点。复平面上圆内点的集合几个概念zzr区域例多项式有理分式根式指数函数三角函数双曲函数对数函数幂函数连续：或：视z为矢量这是平面上的矢量场可以设矢量函数1.3.导数定义运算规则复函数是一个二元函数（实部和虚部），复数空间又是个二元空间，故复函数类似于一个矢量场，其导数一般应与方向有关。可导：对任何方向的，极限都存在并唯一。可导：对任何方向的，极限都存在并唯一。xy

4、z复数0x实数因此，复函数的可导性是比实函数的可导性强的多的条件。柯西—黎曼方程沿实轴沿虚轴可导，要求二者相等必要条件柯西—黎曼方程必要条件可导的充分条件:的存在，连续且满足柯西—黎曼方程。1.4.解析函数在点解析，即在这点可导。为在区域B中解析函数，即在区域的点点解析。性质曲线族相互正交。即由柯西—黎曼方程两族曲线的梯度正交两族曲线正交(1)已知U求V当它们是某解析函数的实部和虚部可由(1)曲线积分(2)凑全微分显式(3)不定积分求出满足拉普拉斯方程由柯西—黎曼方程调和函数(2)例求解:u是调和函数;(1)二元函数的线积分，将来在热力学中出现。全微分的积分与路径无关(2)(3)视x

5、为参量，对y积分求满足的方程小结复变函数的导数的定义是实函数导数定义的自然推广。复变函数的可导性是很强的要求，必要条件是柯西－黎曼方程。充分条件是函数的实部与虚部的导数存在，连续并满足柯西－黎曼方程。解析函数是调和函数。