2017高中数学抽象函数专题

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1、实用文档三、值域问题例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在,使得，求函数f(x)的值域。解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。若f(0)=0，则f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故f(0)≠0，必有f(0)=1。由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x、y均成立，因此，,又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)≠0矛盾,所以f(x)>0.四、求解析式问题（换元法，解方程

2、组，待定系数法，递推法，区间转移法，例6、设对满足x≠0,x≠1的所有实数x，函数f(x)满足,,求f(x)的解析式。解:----（2）---（3）例8.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件:①f(n)>0,n∈N;②f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2∈N*;③f(2)=4同时成立?若存在,求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由.解:假设存在这样的函数f(x),满足条件,得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2.又f(2)=4=22,f(3)=23,…,由此猜想:f(x)=2x(x∈N*)小结：对

3、于定义在正整数集N*上的抽象函数,用数列中的递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解.练习：1、解:，3、函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0，（1）求的值；（2）对任意的，，都有f(x1)+2

4、用定义法解决）.练习：设f(x)定义于实数集上，当x>0时，f(x)>1,且对于任意实数x、y，有f(x+y)=f(x)f(y)，求证：f(x)在R上为增函数。证明：设R上x11，f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1),(注意此处不能直接得大于f(x1)，因为f(x1)的正负还没确定)。取x=y=0得f(0)=0或f(0)=1;若f（0）=0,令x>0,y=0，则f(x)=0与x>0时，f(x)>1矛盾，所以f(0)=1，x>0时，f(x)>1>0,x<0时，-x>0，f(-x)

5、>1,∴由，故f(x)>0，从而f(x2)>f(x1).即f(x)在R上是增函数。（注意与例4的解答相比较，体会解答的灵活性）练习：已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－)=0,当x>－时，f(x)>0.求证：f(x)是单调递增函数；证明：设x1＜x2,则x2－x1－>－,由题意f(x2－x1－)>0,∵f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)+x1］－f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)=f(x2－x1)－1=f(x2－x1)+f(－)－1=f［(x

6、2－x1)－］>0,∴f(x)是单调递增函数.文案大全实用文档练习4、已知函数f(x)对任何正数x,y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)≠0,当x>1时,f(x)<1。试判断f(x)在(0,+∞)上的单调性。解:，，所以f(x1)>f(x2),故f(x)在R+上为减函数.练习6、.已知函数的定义域为，且同时满足：(1)对任意，总有；(2)，(3)若且，则有.(I)求的值；(II)求的最大值；(III)设数列的前项和为，且满足.求证：.解：（I）令，由(3),则，由对任意，总有（II）任意且，则(III)，即。故即原式成立

7、。六、奇偶性问题解析：函数具备奇偶性的前提是定义域关于原点对称，再考虑f(-x)与f(x)的关系（2）已知y=f(2x+1)是偶函数，则函数y=f(2x)的图象的对称轴是（D）A.x=1B.x=2C.x=－D.x=解析：f(2x+1)关于x=0对称,则f(x)关于x=1对称,故f(2x)关于2x=1对称.注：若由奇偶性的定义看复合函数，一般用一个简单函数来表示复合函数，化繁为简。F（x）=f(2x+1)为偶函数，则f(-2x+1)=f(2x+1)→f(x)关于x=1对称。文案大全实用文档例15：设是定义在上的偶函数，且在上是增函数

8、，又。求实数的取值范围。解析：又偶函数的性质知道：在上减，而，，所以由得，解得。（设计理由：此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题，所以本题弹性较大，可以作一些条件变换如：等；也可将定义域作一些调整）例16：定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)