序列的Z变换与傅里叶变换(II)

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1、第二章序列的Z变换与傅里叶变换本章目录序列的Z变换序列的傅里叶变换序列的Z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系Matlab实现22.1引言信号与系统的分析方法:时域分析变换域分析连续时间信号与系统信号用时间t的函数表示系统用微分方程描述离散时间信号与系统信号用序列表示系统用差分方程描述3时域与频域分析傅里叶变换时间域频率域(复频域)拉普拉斯变换推广傅里叶变换时间域频率域(复频域)Z变换推广连续时间信号与系统离散时间信号与系统4本章主要内容序列的Z变换Z变换的主要性质序列的傅里叶变换傅

2、里叶变换的主要性质52.2序列的Z变换Z变换及其收敛域的定义几种序列的Z变换及其收敛域逆Z变换Z变换的性质和定理利用Z变换求解差分方程62.2.1Z变换及其收敛域的定义序列的Z变换定义双边Z变换单边Z变换因果序列的Z变换:单边Z变换可以看成因果序列情况下的双边Z变换7Z平面与单位圆变量z的极坐标形式Z平面:Z变换定义式中z所在的复平面，z是一个连续复变量，具有实部和虚部单位圆:在Z平面上

3、z

4、=1为半径的圆单位圆上的参数可表示为8例:求序列的Z变换例2.1求序列的Z变换。解：序列x(n)是因果序列，

5、根据Z变换的定义分析收敛性：X(z)是无穷项幂级数。X(z)可用封闭形式，即解析函数形式表示为当

6、z

7、≤a时级数发散，当

8、z

9、＞

10、a

11、时级数收敛。9Z变换的收敛域根据级数理论，式(2.1)收敛的充分必要条件是满足绝对可和条件，即收敛域:对于给定的任意序列x(n)，使其Z变换收敛的所有z值的集合组成的区域。根据罗朗级数性质，收敛域一般是某个环域收敛半径Rx-可以小到0，Rx+可以大到∞收敛域以原点为中心，Rx-和Rx+为半径的环域102.2.2几种序列的Z变换及其收敛域序列x(n)的性质决定了X(z)

12、的收敛域，不同形式的序列其收敛域不同。有限长序列：0≤

13、z

14、＜+∞或0＜

15、z

16、≤+∞右边序列：Rx-＜

17、z

18、＜+∞左边序列：0＜

19、z

20、＜Rx+双边序列：Rx-＜

21、z

22、＜Rx+11有限长序列有限长序列只在有限区间n1≤n≤n2内具有非零的有限值，在此区间外序列值都为零Z变换要求：在有限区间内级数的每一项都有界，则有限项的和有界，级数就收敛。x(n)有界开域边界讨论：z=0及z=∞两点是否也收敛与n1、n2取值情况有关。（具体见教材p40与例题）12例：求有限长序列的Z变换例2.2求序列的Z变换。讨论：

23、假设

24、a

25、是有限值，且

26、a

27、＜1。X(z)有一个z=a的极点，但也有一个z=a的零点，将零极点对消。收敛域为0＜

28、z

29、≤+∞。解：根据Z变换的定义13右边序列右边序列只在有限区间n≥n1内具有非零的有限值，在此区间外序列值都为零Z变换假设：级数(2.5)在某个圆

30、z

31、=

32、z1

33、上绝对收敛14右边序列（因果）的收敛域假设：z是圆外任意一点，即

34、z

35、＞

36、z1

37、当n1≥0时，序列为因果序列显然，级数X(z)收敛。讨论：级数X(z)中没有正幂项，

38、z

39、=+∞时级数收敛，因此收敛域包括∞点，即为Rx-＜

40、z

41、

42、≤+∞15右边序列（非因果）的收敛域当n1＜0时，序列为非因果序列显然，当z取有限值时，级数X1(z)的值有限，而级数X2(z)收敛。所以，级数X(z)的收敛域是以Rx-为半径的圆的外部区域，即Rx-＜

43、z

44、＜+∞16左边序列左边序列只在有限区间n≤n2内具有非零的有限值，在此区间外序列值都为零Z变换假设：级数(2.5)在某个圆

45、z

46、=

47、z2

48、上绝对收敛17左边序列（逆因果）的收敛域假设：z是圆内任意一点，即

49、z

50、＜

51、z2

52、当n2≤0时，序列为逆因果序列显然，级数X(z)收敛。讨论：级数X(z)中没

53、有负幂项，

54、z

55、=0时级数收敛，因此收敛域包括0点，即为0≤

56、z

57、＜Rx+18左边序列（非因果）的收敛域当n2＞0时，序列为非因果序列显然，当z取0外的有限值时，级数X2(z)的值有限，而级数X1(z)收敛。所以，级数X(z)的收敛域是以Rx+为半径的圆的内部区域，即0＜

58、z

59、＜Rx+19例：求左边序列的Z变换例2.3求序列的Z变换。解：讨论：当

60、az

61、＜1，即

62、z

63、＜1/

64、a

65、时，级数收敛。X(z)可用封闭形式表示X(z)有一个z=1/a的极点，但也有一个z=0的零点。20双边序列双边序列指n从-

66、∞到+∞都具有非零的有限值，可看成右边序列和左边序列的和Z变换讨论：X1(z)收敛域为0＜

67、z

68、＜Rx+；X2(z)收敛域为Rx-＜

69、z

70、＜+∞。双边序列Z变换的收敛域是公共部分。如果满足Rx-

71、z

72、＜Rx+；如果满足Rx-≥Rx+，则X(z)无收敛域。21例：求双边序列的Z变换例2.4己知序列讨论：极点为z1=a和z2=b零点为z1=0和z2=(a+b)/2收敛域为环域a＜

73、z

74、＜b解：如果0＜a＜b，求其Z变换及其