平面向量的分解与坐标运算

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1、§5.2平面向量的分解与坐标运算高效梳理●平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内,分别取与x轴､y轴平行的两个单位向量i､j作为基底,对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj,则有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中x,y分别叫做a在x轴､y轴上的坐标,a=(x,y)叫做向量a的坐标表示,相等的向量其坐标相同,坐标相同的向量是相等向量.●平面向量的坐标运算(1)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),(2)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,

2、y1-y2),λa=(λx1,λy1),a∥b(b≠0)的充要条件是x1y2-x2y1=0.(3)非零向量a=(x,y)的单位向量为±(4)a=(x1,y1),b=(x2,y2),a=bx1=x2且y1=y2.●需注意的几点(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件不能表示成(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是a=λb,这与x1y2-x2y1=0在本质上是没有差异的,只是形式上不同.考点自测答案:B2.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2).若表示向量4a､4b-2c､2(a-c)､d的有向线段首尾相接能构成四边

3、形,则向量d为()A.(2,6)B.(-2,6)C.(2,-6)D.(-2,-6)答案:D解析:由题知4a=(4,-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4,-2),由题意知:4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,则(4,-12)+(-6,20)+(4,-2)+d=0,即(2,6)+d=0,故d=(-2,-6),选D.3.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且=2,则顶点D的坐标为()A.(2,)B.(2,-)C.(3,2)D.(1,3)答案:A答案:(-3,6)5.已知点A(1,-2),若点A､B的中点坐标为(3,1)且与向量a=(1,

4、λ)共线,则λ=__________.题型突破题型一tixingyi平面向量的坐标运算【例1】已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且=3c,=-2b.(1)求3a+b-3c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)求M､N的坐标及向量的坐标.解析:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3·(5,-5)+(-6,-3)-3·(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).规律方法:利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点､终点坐标的关系求解.题型二tixinger平面向量共线的坐标运算及应用

5、【例2】平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列问题:(1)求满足a=mb+nc的实数m､n;(2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k;(3)若向量d满足(d-c)∥(a+b),且

6、d-c

7、=5,求d.规律方法:(1)由两向量相等的充要条件可求得实数m､n的值;(2)由两向量平行的充要条件列出关于k的方程,进而求得k的值;(3)由两向量平行及向量的模列方程组求解.创新预测2如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交点P的坐标.题型三tixingsan平面向量的坐标运算与其它知识的综合创新预测3在平面直角坐标系中,已知△AB

8、C的三个顶点的坐标为A(2,3),B(1,-1),C(5,1),点P在直线BC上运动,动点Q满足=++,求点Q的轨迹方程.对接高考1.(2008·安徽)若=(2,4),=(1,3),则等于()A.(1,1)B.(-1,-1)C.(3,7)D.(-3,-7)答案:B2.(2009·宁夏中卫模拟)已知向量a=(3,-2),b=(-2,1),c=(7,-4),试用a､b表示c等于()A.5a-3bB.2a-bC.a-2bD.2a+b答案:C答案:B4.(2010·荷泽模拟)已知向量m=(a-2,-2),n=(-2,b-2),m∥n(a>0,b>0),则ab的最小值是_________.答案:16高

9、效作业一､选择题1.(2009·广东)已知平面向量a=(x,1),b=(-x,x2),则向量a+b()A.平行于x轴B.平行于第一､三象限的角平分线C.平行于y轴D.平行于第二､四象限的角平分线答案:C解析:∵a+b=(0,1+x2),∴平行于y轴.2.(2009·北京)已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果c∥d,那么()A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向