平面向量数量积的物理背景及几何意义

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1、平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积物理背景及其含义已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角。OBAθ向量的夹角当θ＝0°时，a与b同向；OAB当θ＝180°时，a与b反向；OABB当θ＝90°时，称a与b垂直，记为a⊥b.OAab一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS那么力F所做的功W为：情景引入W=

2、F

3、

4、S

5、cosθ其中θ是F与S的夹角从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。数量积的定义（1）两向量的数量积是一个数量，注意已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数

6、量叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即（2）a·b不能写成a×b，‘·’不能省.向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？思考：a·b=

7、a

8、

9、b

10、cosθ当0°≤θ＜90°时a·b为正；当90°＜θ≤180°时a·b为负。当θ=90°时a·b为零。例题讲解例1．已知=5，=4，与的夹角，求.变式:如图的菱形ABCD中，角A等于，AB=2,求下列各数量积.DABC例2已知=(1,1),=(2,0),求。解：重要性质:设是非零向量，方向相同的单位向量，的夹角，则特别地OABθabB1求模的方法判断垂直的又一条件求角物理上力所做的功实际

11、上是将力正交分解，只有在位移方向上的力做功．θsF对非零向量a与b，定义

12、b

13、cosθ叫向量b在a方向上的投影．

14、a

15、cosθ叫向量a在b方向上的投影．数量积的几何意义，过点B作则的数量是

16、b

17、cosθ（不是向量）a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度

18、a

19、与b在a的方向上投影

20、b

21、cos的乘积。θ为锐角时，

22、b

23、cosθ＞0θ为钝角时，

24、b

25、cosθ＜0θ为直角时，

26、b

27、cosθ=0数量积的几何意义OABbaB1B1OABbaOABba回顾实数运算中有关的运算律，类比数量积得运算律:在实数中在向量运算中交换律:ab=ba()结合律：(ab)c

28、=a(bc)()()分配律：(a+b)c=ab+bc()消去律:ab=bc(b≠0)a=c()√√√××数量积的运算律数量积的运算律已知向量a、b、c和实数，则:则：(a+b)·c=ON

29、c

30、=(OM+MN)

31、c

32、=OM

33、c

34、+MN

35、c

36、=a·c+b·c.ONMa+bbac向量a、b、a+b在c上的射影的数量分别是OM、MN、ON,证明运算律(3)典型例题例1.已知向量a，b,求证下列各式证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.（2）(a＋b)·(a－b)＝(a

37、＋b)·a－(a＋b)·b＝a·a＋b·a－a·b－b·b＝a2－b2.向量的数量积运算类似于多项式运算解：a+kb与a-kb互相垂直的条件是（a+kb）·（a-kb）=0即a2-k2b2=09-16=0所以，k=例4、(2009·海南、宁夏高考，理9)已知点O、N、P在△ABC所在平面内，且A．重心、外心、垂心B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心D．外心、重心、内心夹角的范围运算律性质数量积(3)(a＋b)·c=a·c＋b·ca·a=

38、a

39、2（简写a2=

40、a

41、2）知识回顾:(2)(1)a·b=b·a(交换律)(分配律)判断正误，并说理.1.已知向量和

42、实数1．若，则中至少有一个为．2.若b≠0，a·b＝c·b，则a=c4.对任意向量a有3.(a·b)c=a(b·c)××××√巩固练习2.已知△ABC中,AB=a,AC=b,当a·b<0,a·b=0时,△ABC各是什么三角形？当a·b＜0时，cos<0，为钝角三角形当a·b=0时，为直角三角形巩固练习3.在△ABC中a=5,b=8,C=60o,求思考：用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。ABCO如图所示，已知⊙O，AB为直径，C为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°分析：要证∠ACB=90°，只须证向量，即。解：设则，由此可得：即，∠ACB=90°课

43、后作业:P1081——8(习题).预习向量的数量积的坐标表示