对坐标曲线积分(打印

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1、§11.1内容回顾1.定义2.性质(略)3.计算•对光滑曲线弧•对光滑曲线弧•对光滑曲线弧•空间曲线弧的参数方程为则一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算法三*、两类曲线积分之间的联系§11.2对坐标的曲线积分第十一章一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移“分割”“近似”“求(近似)和”“(取)极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.1)“分割”.2)“近似”把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为

2、F沿则用有向线段上任取一点在3)“求(近似)和”4)“(取)极限”(其中为n个小弧段的最大长度)另一方面,从积分应用的微元法得所以L这就是下面要讲的…2.定义.设L为xoy平面内从A到B的一条有向光滑弧,若对L的任意分割；在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L称为积分弧段或积分曲线.称为被积函数,在L上定义了一个向量函数若极限都存在，记作在L上有界．在局部弧段上任意取点作积；求和；并取极限若为空间曲线弧,记称为对x的曲线积分;称为对y的曲线积分.若记,对坐标的曲线积分也可写作类似地,3.性质(2)若有向

3、弧L可分成k条有向光滑曲线弧Li(i=1,2,…,k)(3)用L－表示L的反向弧,则则定积分是第二类曲线积分的特例.但不是第一类的特例．说明:对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!(1)设α、β为常数,则(线性运算性质)(可加性)(积分弧段的有向性)物理意义是变力沿曲线作功.二、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧L上有定义且L的参数方程为则曲线积分连续,证明过程同样要用到函数的一致连续性(从略).存在,且有注意:下(上)限分别对应起(终)点的参数α(β),不一定有α<β,这一点是与第一类曲线积分是不同的.特别是,如果L的方程为则对空间

4、光滑曲线弧:类似有例1.计算其中L为沿抛物线解法1取x为参数,则解法2取y为参数,则从点的一段.例2.计算其中L为(1)半径为a圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(–a,0).解:(1)取L的参数方程为(2)取L的方程为则则例3.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线解:(1)原式(2)原式(3)原式三者相等不是偶然的也不是必然的O的距离成正比,设一个质点在处受力恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到解:F的大小与M到原点F的方向F的作用,求力F所作的功.思考:若题中F的方向改为与OM垂

5、直且与y轴夹角为钝角,则例4.三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧L的参数方程为若L的切向量(与L的指向一致)的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系=会做P2017（推导：略）类似地,在空间曲线上的两类曲线积分的联系是令记A在t上的投影为例6.将积分化为对弧长的积分,解：其中L沿上半圆周从到－－（　）(特别注意！切向量的方向)－会做P20171.定义2.性质(1)线性运算性质:…(2)有向性对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向性!内容小结(2)可加性3.计算•对有向光滑弧•对有向光滑弧4.两类曲线积分的联系•对空间有向光滑弧:作业P200

6、3(2),(4),(6),(7);4;5;7(1)(3)备用题解:线移动到向坐标原点,其大小与作用点到xoy面的距离成反比.沿直求F所作的功W.已知F的方向指一质点在力场F作用下由点解此题的关键是:6.上为连续函数.P182P1822(3);4；6;7；8(1),(3)且求f的表达式.解：D如图,在设(1)(1)式两边在D上积分得，即则0sinθ0所以7.把积分化为三次积分,其中由曲面解:积分域原式及平面所围成的闭区域.P1838(1).计算积分其中是两个球(R>0)的公共部分.提示:由于被积函数缺x,y,原式=利用“先二后一”计算方便.

7、P1838(1).计算积分其中是两个球(R>0)的公共部分.提示:先一后二,原式=P183002π=…8(3).计算三重积分其中是由xoy平面上曲线x=5所围成的闭区域.解:如图:原式绕x轴旋转而成的曲面与平面P183