定积分的概念与性质(VI)

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1、第五章定积分（DefiniteIntegrals)积分学不定积分定积分9/21/20211主要内容第一节定积分的概念与性质第二节牛顿-莱布尼茨公式第三节定积分的换元法和分部积分法第四节广义积分9/21/20212第5.1节定积分的概念与性质第五章（ConceptionsandPropertiesofDefiniteIntegrals）一、引例二、定积分的定义三、定积分的性质9/21/20213一、引例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.矩形面积梯形面积9/21/20214

2、1)分割:在区间[a,b]中任意插入n–1个分点2)近似求和:解决步骤:把分成n个子区间每个子区间长度为在每个子区间上任取作和9/21/202153)取极限:因此,令则曲边梯形面积当上述分割越来越细(即分点越来越多,同时各个子区间的长度越来越小)时,和式的值就越来越接近曲边梯形的面积9/21/20216设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程s.解决步骤:1)分割:已知速度2.变速直线运动的路程把分成n个子区间每个子区间长度为9/21/202174)取极限:上述两个问题的共性:解决问题的方法步

3、骤相同:“分割,近似求和,取极限”所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限3)近似求和:在每个子区间上任取作和9/21/20218二、定积分定义任一种分法任取总趋于确定的极限I,则称此极限I为函数在区间上的定积分,即此时称f(x)在[a,b]上可积.记作9/21/20219积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即9/21/202110定理1定理2且只有有限个间断点可积的充分条件:定理3应当指出的是，定积分的定义很重要，今后学习二重

4、、三重积分、曲线与曲面积分时，还会遇到结构上与表述上都类似的定义，它们统称为黎曼积分.9/21/202111例1利用定义计算定积分解:将[0,1]n等分,分点为取9/21/202112曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和定积分的几何意义:9/21/2021139/21/202114三、定积分的性质（设所列定积分都存在）(k为常数)证:=右端9/21/202115证:当时,因在上可积,所以在分割区间时,可以永远取c为分点,于是9/21/202116则有当a,b,c的相对位置任意时,例如9/21/

5、202117则证:推论1若在[a,b]上则6.若在[a,b]上9/21/202118证:即7.设则推论2积分估值定理9/21/202119证:例3（补充题）试证:在区间[0,1]上单调递增，利用积分估值定理，得9/21/202120则至少存在一点使证:则由性质7可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.8.积分中值定理9/21/202121可把故它是有限个数的平均值概念的推广.积分中值定理对因说明:9/21/202122内容小结1.定积分定义——乘积和式的极限2.定积分的几何意义3.定积分存在的3

6、个充分性条件4.定积分的8条基本性质9/21/202123