多元函数的极值及其应用(IV)

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1、1第六节多元函数的极值及应用（二）隐函数的微分法（一）多元函数全微分1、公式法2、直接法3、全微分法1、定义法2、利用微分运算法则和形式不变性复习3第六节多元函数的极值及应用随着现代工业、农业、国防和科学技术的迅速发展，在工程技术、科学研究、经济管理等各个领域都提出了大量的最优化问题。例如，在安排生产计划方面，如何在现有人力、物力条件下，合理安排几种产品的生产，使总产值最高或总利润最大。这些问题的解决都将涉及到多元函数极值的定义及其求解方法。产品的生产，才能使总成本最小等等。同样地，在现有条件下，如何安排多种与一元函数的情形类似

2、，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值有着密切的联系。。第六节多元函数的极值及应用一.二元函数的极值二.二元函数的最值三.条件极值拉格朗日乘数法第六节多元函数的极值及应用教学要求：1.理解多元函数极值和条件极值的概念;3.会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值;2.掌握多元函数极值存在的必要条件,理解二元函数极值存在的充分条件;4.会求简单多元函数的最大值和最小值,并会解决一些简单的应用问题.第六节多元函数的极值及应用一、二元函数的极值设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,和极小值统称为极值.

3、极大值极小值点统称为极值点.极大值点和极大值(或极小值).(或极小值点)，函数值f(x0,y0)称为则称点(x0,y0)为函数的极大值点f(x,y)≤f(x0,y0)若对该邻域内异于(x0,y0)的任意点(x,y)，恒有定义(或f(x,y)≥f(x0,y0))，第六节多元函数的极值及应用(1)(2)(3)椭圆抛物面圆锥面例第六节多元函数的极值及应用设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的一阶偏导数存在,同理可证使得等式同时成立的点(x0,y0),则必有定理(极值存在的必要条件)该点处取得极值,证故称为函数f(x,y)的驻点.

4、设函数f(x)在点x0处可导且x0为f(x)的极值点，定理(极值的必要条件)（驻点）且在设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的一阶偏导数存在,则必有定理(极值存在的必要条件)该点处取得极值,注意：但反之，驻点不一定是函数的极值点.由定理知偏导数存在的极值点必定为驻点,偏导数不存在的点也可能是极值点.但驻点(0,0)不是函数的极值点.如圆锥面的顶点(0,0)xyzoxyz函数,例即为零,在点(0,0)处的两个偏导数同时小值点,但顶点（0,0）是极的偏导数不存在,极小值为0.双曲抛物面（马鞍面）注意：由定理知偏导数存在的极值点

5、必定为驻点,但反之，驻点不一定是函数的极值点.定理(极值存在的必要条件)问题：可能极值点：驻点、偏导数不存在的点如何判定一个可能极值点是否为极值点？设函数f(x)在点x0处具有二阶导数，定理(判定极值的第二充分条件)则且定理(极值存在的必要条件)设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)当A>0时,(2)当B2–AC>0时,(3)当B2–AC=0时,则若记即(x0,y0)是函数的驻点,且的某一邻域内连续且有连续的一阶与二阶偏导数,定理(极值的充分条件)f(x0,y0)为极大值；(1)当B2–AC<0时,f(x0,y0)为极小值.f

6、(x0,y0)非极值.f(x0,y0)可能为极值也可能非极值.且当A<0时,函数f(x,y)在点(x0,y0)处有极值.极值存在的必要条件和充分条件对于具有二阶连续偏导数的函数求函数z=f(x,y)极值的步骤：2.极值判定:1.求驻点:得到所有驻点.判定f(x0,y0)是否为极值,4.求出极值:求出二阶偏导数的值A,B,C.并对每一驻点,求出二阶偏导数极小值.是极大值还是3.对每一驻点(x0,y0),定出B2–AC的符号,按照定理的结论,求出极值点处的函数值.极值存在的必要条件和充分条件求极值求驻点计算极值不定非极值极值极大值极

7、小值求函数极值流程图极值存在的必要条件和充分条件例1求函数的极值．解得驻点在驻点(1,1)处，在驻点(0,0)处，解方程组又点(0,0)不是极值点；所以，所以，函数有极小值一、二元函数的极值例2求函数的极值.得驻点(0,0),(–4,–2).解求函数的二阶偏导数，解方程组在点(0,0)处,有A=2,B=0,C=–4，一、二元函数的极值由极值的充分条件知,在点(–4,–2)处,而A<0,由极值的充分条件,点(0,0)不是极值点.f(–4,–2)=–8e–2是函数的极大值.知点(–4,–2)为极大值点,例2求函数的极值.一、二元函数

8、的极值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.二.二元函数的最大值与最小值若函数z=f(x,y)在有界闭区域D上连续,则一定存在最大值与最小值.(1)先求出函数在该区域内的一切驻点处的函数值.驻点值最值存在定理：是函数在D上的最小值.的