高中数学必修1基本初等函数常考题型：指数函数及其性质

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1、指数函数及其性质【知识梳理】1．指数函数的定义函数(且)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.2．指数函数的图象和性质图　象性　　质定义域值域过定点过点即时，单调性是上的增函数是上的减函数【常考题型】题型一、指数函数的概念【例1】　(1)下列函数：①；②；③；④.其中，指数函数的个数是(　　)A．　　　　　　　　B．C．D．(2)函数是指数函数，则(　　)A．或B．C．D．且[解析]　(1)①中，的系数是，故①不是指数函数；②中，的指数是，不是自变量，故②不是指数函数；③中，的系数是，幂的指数是自变量，且只有一项，故③是指数函

2、数；④中，中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．所以只有③是指数函数．(2)由指数函数定义知，所以解得.[答案]　(1)B　(2)C【类题通法】判断一个函数是否为指数函数的方法判断一个函数是否是指数函数，其关键是分析该函数是否具备指数函数三大特征：(1)底数，且.(2)的系数为.(3)中“是常数”，为自变量，自变量在指数位置上．【对点训练】下列函数中是指数函数的是________(填序号)．①；②；③；④；⑤；⑥.解析：①中指数式的系数不为，故不是指数函数；②中，指数式的系数不为，故不是指数函数；④中底数为，不满足底数是唯一

3、确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填③.答案：③题型二、指数函数的图象问题【例2】　(1)如图是指数函数①，②，③，④的图象，则，，，与的大小关系为(　　)A．B．C．D．(2)函数(，且)的图象过定点________．[解析]　(1)由图象可知③④的底数必大于，①②的底数必小于.过点作直线，如图所示，在第一象限内直线与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底数，则，，从而可知，，，与的大小关系为.(2)法一：因为指数函数(，且)的图象过定点，所以在函数中，

4、令，得，即函数的图象过定点．法二：将原函数变形，得，然后把看作是的指数函数，所以当时，，即，，所以原函数的图象过定点．[答案]　(1)B　(2)【类题通法】底数对函数图象的影响(1)底数与的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当时，指数函数的图象“上升”；当时，指数函数的图象“下降”．(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是，还是，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近轴．当时，①若，则；②若，则.当时，①若，则；②若，则.【对点训练】若函数(，且)的图象不经过第二象限，则有(　　)A．且B．且C．且D．且解析：选D　由指数

5、函数图象的特征可知时，函数(，且)的图象必经过第二象限，故排除选项B、C.又函数(，且)的图象不经过第二象限，则其图象与轴的交点不在轴上方，所以当时，，即，故选项D正确.题型三、与指数函数有关的定义域、值域问题【例3】　求下列函数的定义域和值域：(1)；(2)；(3).[解]　(1)要使函数式有意义，则，即，因为函数在上是增函数，所以，故函数y＝的定义域为．因为，所以，所以，所以，即函数的值域为．(2)要使函数式有意义，则，解得，所以函数的定义域为．因为，所以，即函数的值域为．(3)要使函数式有意义，则，解得，所以函数的定义域为．而

6、，则函数的值域为．【类题通法】指数型函数的定义域、值域的求法(1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是型还是型，前者的定义域是，后者的定义域与的定义域一致，而求型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)．(2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为，切记准确运用指数函数的单调性．【对点训练】求函数的定义域和值域．解：定义域为.∵，∴.又∵，∴函数的值域为．【练习反馈】1．已知，则指数函数①，②的图象为(　　)解析：选C　由于，所以与都是减函数，故排除A、B，作

7、直线与两个曲线相交，交点在下面的是函数的图象，故选C.2．若函数是实数集上的增函数，则实数的取值范围为(　　)A.　　　　　　　　B．C.D.解析：选B　由题意知，此函数为指数函数，且为实数集上的增函数，所以底数，解得.3．指数函数的图象过点，那么________.解析：设(且)，又，∴.答案：4．函数，的值域为________．解析：∵，∴.∴.∴值域为.答案：5．已知函数()的图象经过点，其中且.(1)求的值；(2)求函数()的值域．解：(1)因为函数图象过点，所以，则.(2)()，由得，，于是.所以函数的值域为．