高中数学必修1基本初等函数常考题型：指数函数及其性质.docx

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1、指数函数及其性质【知识梳理】1．指数函数的定义函数yax(a0且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.2．指数函数的图象和性质a10a1图象定义域R性值域0,质过定点过点0,1即x0时，y1单调性是R上的增函数是R上的减函数【常考题型】题型一、指数函数的概念【例1】(1)下列函数：①y23x；②y3x1；③y3x；④yx3.其中，指数函数的个数是()A．0B．1C．2D．3(2)函数ya22ax是指数函数，则()A．a1或a3B．a1C．a3D．a0且a1[解析](1)①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y3x1

2、的指数是x1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，y3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，yx3中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．所以只有③是指数函数．21，所以解得a3.(2)由指数函数定义知a2a0且a1[答案](1)B(2)C【类题通法】判断一个函数是否为指数函数的方法判断一个函数是否是指数函数，其关键是分析该函数是否具备指数函数三大特征：(1)底数a0，且a1.(2)ax的系数为1.(3)yax中“a是常数”，x为自变量，自变量在指数位置上．【对点训练】下列函数中是指数函数的是________(填序号

3、)．xx①y22x1；③y；④yxx；2；②y211⑤y3x3.；⑥yxx1，故不是指数函数；②中y2x112x，指数式2x解析：①中指数式2的系数不为2的系数不为1，故不是指数函数；④中底数为x，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是x，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填③.答案：③题型二、指数函数的图象问题【例2】(1)如图是指数函数①yax，②ybx，③ycx，④ydx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为()A．ab1cdB．ba1dcC．1abcdD．ab1dc(2)函数yax33(a0，且

4、a1)的图象过定点________．[解析](1)由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.过点1,0作直线x1，如图所示，在第一象限内直线x1与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底数，则1dc，ba1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为ba1dc.(2)法一：因为指数函数yax(a0，且a1)的图象过定点0,1，所以在函数yax33中，令x3，得y134，即函数的图象过定点3,4．法二：将原函数变形，得y3ax3，然后把y3看作是x3的指数函数，所以当x30时，y31，即x3，y4，所以原函数的图象过定点3,4．[答案](1)B(2)3,4【

5、类题通法】底数a对函数图象的影响(1)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a1时，指数函数的图象“上升”；当0a1时，指数函数的图象“下降”．(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a1，还是0a1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y轴．当ab1时，①若x0，则axbx1；②若x0，则1bxax0.当1ab0时，①若x0，则1axbx0；②若x0，则bxax1.【对点训练】若函数yaxb1(a0，且a1)的图象不经过第二象限，则有()A．a1且b1B．0a1且b1C．0a1且b0D．a1且b0解析：选D由指数函数图象的特征可知0a

6、1时，函数yaxb1(a0，且a1)的图象必经过第二象限，故排除选项B、C.又函数yaxb1(a0，且a1)的图象不经过第二象限，则其图象与y轴的交点不在x轴上方，所以当x0时，ya0b10，即b0，故选项D正确.题型三、与指数函数有关的定义域、值域问题【例3】求下列函数的定义域和值域：12x(1)y13x；(2)y2x4；(3)y.3[解](1)要使函数式有意义，则13x0，即3x130，因为函数y3x在R上是增函数，所以x0，故函数y＝13x的定义域为,0．因为x0，所以03x1，所以013x1，所以13x0,1，即函数y13x的值域为0,1．1(2)要

7、使函数式有意义，则x40，解得x4，所以函数y2x4的定义域为xRx4．111因为0，所以2x41，即函数y2x4的值域为yy0且y1．4xx2(3)要使函数式有意义，则x0，解得x0，所以函数y的定义域为32x02xx021，则函数．而y3y33x的值域为yy1．【类题通法】指数型函数的定义域、值域的求法(1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是yax型还是yafx型，前者的定义域是R，后者的定义域与fx的定义域一致，而求yfax型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)．(2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的

8、方法的前提下，要注意指数函数的值域为0,，切记准确运