23.幂的运算(提高)知识讲解

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1、幂的运算(提高)【学习目标】1.掌握正整数幂的乘法运算性质(同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方);2.能用代数式和文字语言正确地表述这些性质,并能运用它们熟练地进行运算.【要点梳理】要点一、同底数幂的乘法性质(其中都是正整数).即同底数幂相乘,底数不变,指数相加.要点诠释:(1)同底数幂是指底数相同的幂,底数可以是任意的实数,也可以是单项式、多项式.(2)三个或三个以上同底数幂相乘时,也具有这一性质,即(都是正整数).(3)逆用公式:把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积,其中它们的底数与原来的底数相同

2、,它们的指数之和等于原来的幂的指数。即(都是正整数).要点二、幂的乘方法则(其中都是正整数).即幂的乘方,底数不变,指数相乘.要点诠释:(1)公式的推广:(,均为正整数)(2)逆用公式:,根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形,从而解决问题.要点三、积的乘方法则(其中是正整数).即积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.要点诠释:(1)公式的推广:(为正整数).(2)逆用公式:逆用公式适当的变形可简化运算过程,尤其是遇到底数互为倒数时,计算更简便.如:要点四、注意事项(1)

3、底数可以是任意实数,也可以是单项式、多项式.(2)同底数幂的乘法时,只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1,计算时不要遗漏.(3)幂的乘方运算时,指数相乘,而同底数幂的乘法中是指数相加.(4)积的乘方运算时须注意,积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.(5)灵活地双向应用运算性质,使运算更加方便、简洁.(6)带有负号的幂的运算,要养成先化简符号的习惯.【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算:(1);(2).【答案与解析】解:(1).(2).【总结升华】(1)同底数幂相乘时,底数

4、可以是多项式,也可以是单项式.(2)在幂的运算中,经常用到以下变形:.类型二、幂的乘方法则2、计算:(1);(2);(3);(4).【答案与解析】解:(1).(2).(3).(4).【总结升华】(1)运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理,一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.(2)幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母,也可以是单项式或多项式.3、已知,,求的值.【思路点拨】由于已知的值,所以逆用同底数幂的乘法和幂的乘方把变成,再代入计算.【答案与解析】解:因为,.所以.【总结升华

5、】运用整体的观念看待数学问题,是一种重要的数学思维方法.把当成一个整体问题就会迎刃而解.同时看到灵活地双向应用运算性质,使运算更加方便、简洁.举一反三:【变式】已知,则=.【答案】-5;提示:原式     ∵∴原式==-5.类型三、积的乘方法则4、计算:(1)(2)【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算.【答案与解析】解:(1).(2).【总结升华】(1)应用积的乘方时,特别注意观察底数含有几个因式,每个因式都分别乘方.(2)注意系数及系数符号,对系数-1不可忽略.举一反三:【变式】下列等式正确的

6、个数是().①②③④⑤A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A;提示:只有⑤正确;;;;

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