412幂的运算(提高)知识讲解

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1、4.12幕的运算（提高）【学习目标】1.掌握正整数幕的乘法运算性质（同底数幕的乘法、幕的乘方、积的乘方）；2.能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.【要点梳理】要点一、同底数幕的乘法性质凸”•/=（其中m,n都是正整数）.即同底数幕相乘，底数不变，指数相加.要点诠释:（1）同底数幕是指底数相同的幕，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幕相乘时，也具有这一性质，即amM=严”"（叫n9p都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幕分解成两个或多个同底数幕的积，其中它们的底数与原来的底数相同,它们的指数之和等于原来的幕的指数

2、。即严討心（m、n都是正整数）.要点二、幕的乘右法则（am）n=anm（其中加,斤都是正整数）•即幕的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：（（arftyy=afr,fl/J（QHO,加,彷〃均为正整数）（2）逆用公式：根据题目的需要常常逆用幕的乘方运算能将某些幕变形，从而解决问题.要点三、积的乘方法则（ab）n=a^bft（其中比是正整数）.即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘.要点诠释：（1）公式的推广:（obey=Q”•戻・C”5为正整数）.（2〉逆用公式：anbn=（ab）n逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时,

3、计算更简便•如:]Y°X210lx210要点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幕的乘法时，只有当底数相同时，指数才可以相加.指数为1,计算时不要遗漏.（3）幕的乘方运算时，指数相乘，而同底数幕的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式（特别是系数）都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幕的运算，要养成先化简符号的习惯.【典型例题】类型一、同底数幕的乘法性质◎、计算：(1)@+2产@+2)5・(0+2)；(2)(x—2y)2-(2y—x)3.【答案与解析】解：(1)@+

4、2)3•@+2)5.(0+2)二少+2)环+1=(/?+2)9・(2)(x-2y)2•(2y-x)3=(x-2y)2-[-(x-2y)3]=-(x-2y)5.【总结升华](i)同底数幕相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式.(2)在幕的运算中，经常用到以下变形：(—a)"=/(伪偶数),-a"(伪奇数),(f屮一叫为偶数)1-9-"(伪奇数)类型二、幕的乘方法则(2)(b)2+(),2)3一2加；2、计算：(1)-[(a-b)2]3；(3)(严2)4.(严)2；(4)(X3)2•(兀3)4.【答案与解析】解：(1)-[(a-h)2]3=-(a-b)2x3=-(a-b)6.(2)

5、(y3)2+(y2)3-2y•y5=y6+/-2/=2y6-2y6=0.(3)(x2m-2)4-(xm+')2=x4(2m-2)・严I)=严•严=严-6<4)(x3)2-(?)4=x6-x,2=?【总结升华】(1)运用幕的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幕的乘方与同底数幕的乘法混淆.(2)幕的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.C^3、已知8，"=4,8"=5,求8皿的值.【思路点拨】由于已知0,8”的值，所以逆用同底数幕的乘法和幕的乘方把变成83wx82z,=(8w)3x(8n)2,再代入计算.【答案与解析】所以83w,+2h

6、=8临x82"=64x25=1600.【总结升华】运用整体的观念看待数学问题，是一种重要的数学思维方法•把8",8"当成一个整体问题就会迎刃而解.同时看到灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.举一反三：【变式】己知/'"=2,戾”'=3,则（6?”『+（护）&一@弘广"・//"=•【答案】-5；提示：原式=（严『+（沖『一（丹『•（刊）2•・・0血■2.沪・■3・•・原式=2?+3?—2?x3?=—5.类型三、积的乘芳法则&4、计算：（1）-（2xy2）4（2）［—於・（_N7?）3］3【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算.【答案与解析】解:（1）一（2巧丁=（_1

7、）.24•%4•（v2）4=-16x4/・⑵［-/•（_曲3）讦=_（/）3.（_”2护）3=_/.（一/6）.0=土20.【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方.（2）注意系数及系数符号，对系数一1不可忽略.举一反三：【变式】下列等式正确的个数是（）•①（-2x2y3）3=-6x6/②（~a2m^=a6,n③（3刊=3/④（5x105）x（7x107）=35x1035⑤（-O.5），o（，x2,（）,=（-O.5x2），o°x2A.1