离散数学 郝晓燕 第3章 集合

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1、第3章集合早在1638年，意大利天文学家伽利略发现了这样一个问题，全体自然数与全体平方数，谁多谁少？这一问题为现代数学基础——集合论的诞生播下了种子。集合论是19世纪末德国数学家乔治·康托创造的。现代数学的发展告诉我们，康托的集会论是自古希腊时代以来两千多年里，人类认识史上第一次给无穷建立起抽象的形式符号系统和确定的运算。并从本质上揭示了无穷的特性，使无穷的概念发生了一次革命性的变化，并渗透到所有的数学分支，从根本上改造了数学的结构，促进了数学许多新的分支的建立和发展，成为实变函数论、代数拓扑、群论和泛函分析等理论的基础。康托（GeorgCantor，

2、1845－1918），1845年3月3日生于俄国彼得堡，1856年全家迁居德国法兰克福。康托先后就学于苏黎世大学、哥廷根大学、法兰克福大学和柏林大学，主要学习哲学、数学和物理。在柏林大学，他受到著名分析学家魏尔斯特拉斯的影响，对纯粹数学产生了兴趣。22岁时以求不定方程的整数解的博士论文获哲学博士学位。§1集合的概念§3-1-1集合的定义数学的集合是以涵盖宇宙一切事物的一般集合作为其研究对象，而数学的大多数分支所研究的对象或者可以看成某种特定结构的集合，或者可以通过集合来定义，因此集合论的基本概念几乎渗透到数学的一切领域。集合:一些离散个体构成的,用大写

3、字母A,B,C等表示元素:组成集合的事物(成员),用小写字母a，b，x，y，…表示。集合的元素具有如下性质:（1）无序性：集合中元素出现的排列顺序无关（2）相异性：集合中的元素都是不同的，凡是相同的元素，均视为同一个元素。（3）确定性：对任何元素和集合都能确定这个元素是否为该集合的元素。集合的元素一旦给定，这一集合便完全确定了，元素a与集合A的关系只能是：元素a属于A，记作aA；或者a不属于A，记作aA，也可以记作(aA)。（4）任意性：集合的元素也可以是集合。§3-1-2集合的表示方法（1）枚举法：列出集合中全部元素或部分元素的方法。（2）描

4、述法：通过刻画集合中元素所具备的某种特性来表示集合的方法，其一般表示方法为A={x

5、P(x)}，通过谓词P概括集合元素的性质。3归纳法归纳法是通过归纳定义集合，主要由三部分组成：第一部分：基础。指出某些最基本的元素属于某集合；第二部分：归纳。指出由基本元素造出新元素的方法；第三部分：极小性。指出该集合的界限。注意：第一部分和第二部分指出一个集合至少包括的元素，第三部分指出一个集合至多要包含的元素集合A按如下方式定义：（1）0和1都是A中的元素；（2）如果a,b是A中的元素，则ab,ba也是A中的元素；（3）有限次使用(1)、(2)后所得到的字符串都是A

6、中的元素。试指出其定义方式。并举出集合A中的3个元素4、递归指定集合通过计算规则定义集合中的元素例设a0＝1，ai+1＝2ai（i0）定义S＝{a0，a1，a2，...}＝{ak

7、k0}，试写出集合S中的所有元素。5、文氏图解法文氏图解法是一种利用平面上点的集合作成的对集合的图解。一般用平面上的圆形或方形表示一个集合。AA罗素悖论在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是

8、，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。思考：考虑一个特殊的集合R，R把所有不属于自身的集合组成一个整体，集合R用描述法表示R={x

9、xR}，问R是否属于R？如果说R属于R，那么R满足R的定义，R不属于自身，即R不属于R；如果说R不属于R，那么R不满足定义，即R应属于自身，那么R属于R。无论怎样都自相矛盾，这就是著名的罗素悖论。解决方案人们希望能够通过对康托

10、尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”1908年，策梅罗在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼等人提出的NBG系统等。公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都促进

11、了数学的大发展等等。逻辑主义—数学即逻辑逻辑主义的主要代表人物是英国著名的数学家,哲学家和逻辑