【素材】《公式法》公式法典例分析灵活运用公式快速分解因式（北师大）

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1、【典例分析】灵活运用公式快速分解因式运用公式法是分解因式的一种基本方法．这种方法就是利用平方差公式和完全平方公式分解因式，但在许多情况下，对于给定的多项式，往往无法直接运用公式分解，须根据多项式的特征对其施以恰当的变形进行分解，下面就快速分解因式举例说明．1.先提取公因式再运用公式分解例1　分解因式：（1）x3y-xy3；（2）abx2-2abxy+aby2．分析：（1）先提取公因式xy后，便可利用公式进行分解；（2）先提取公因式ab后，就可以利用公式进行分解．解：（1）原式=xy（x2-y2）=xy（x+y）（x-y）．（2）原式=ab（x2-2xy+y2

2、）=ab（x-y）2．2.先变换系数再运用公式分解例2　分解因式：（1）9m2-4n2；（2）121a2+44ab+4b2．分析：观察这两个多项式的各项系数，可以发现9、4、121都是完全平方数，所以可先把它们分别写成平方的形式，然后再运用公式进行分解．解：（1）原式=（3m)2－（2n）2=（3m+2n）（3m-2n）．（2）原式=（11a）2＋2×11a×2b＋（2b）2=（11a+2b）2.3.先变换指数再运用公式分解例3　分解因式：（1）p4-16q4；（2）81m4-72m2n2＋16n4．分析：（1）、（2）中多项式的项数、各项符号均符合公式的特

3、征，因此只要把指数作适当的变换，就可以运用公式进行因式分解．解：（1）原式=（p2）2－（4q2）2=（p2＋4q2）（p2－4q2）=（p2＋4q2）（p＋2q）（p-2q）.（2）原式=（9m2）2－72m2n2＋（4n）2=（9m2-4n2）2=（3m+2n）2·（3m-2n）2．4.先把多项式看做整体再运用公式分解例4　分解因式：（1）（a+b）2－c2；（2）（a+b）2＋2（a+b）＋1．分析：先把a+b看做一个整体，然后再利用公式进行分解．解：（1）原式=［（a+b）+c］［（a+b）－c］=（a+b+c）（a+b－c）．（2）原式=［（a+b

4、）＋1］2=（a+b＋1）2．5.先将多项式重新排列再运用公式分解例5　分解因式：（1）－n2+m2；（2）-2mn+m2+n2.分析：先利用加法的交换律把多项式重新排列后再运用公式进行分解．解：（1）原式=m2－n2=（m+n）（m-n）．（2）原式=m2-2mn+n2=（m-n）2．6.先局部分解后再运用公式分解例6　分解因式：4（a+b）2－12（a2-b2）＋9（a-b）2．分析：由于a2-b2中有因式（a＋b）和（a-b），所以可以先把a2-b2进行因式分解后，再运用完全平方公式进行分解．解：原式=4（a+b）2－12（a＋b）（a-b）＋9（a-

5、b）2=［2（a+b）－3（a-b）］2=（5b-a）2．7.先局部展开再运用公式进行分解例7　分解因式：（a+b）2－4（a＋b－1）．分析：把a＋b看做一个整体，把4（a＋b－1）展开后再运用完全平方公式进行分解．解：原式=（a+b）2－4（a＋b）＋4