24 弦切角的性质 课件(人教A选修4-1)(2)

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1、[读教材·填要点]1．弦切角顶点在圆上，一边和圆，另一边和圆的角叫弦切角．2．弦切角定理弦切角等于．相交它所夹的弧所对的圆周角相切[小问题·大思维]1．一边和圆相交，另一边和圆相切的角是弦切角吗？提示：不一定．弦切角必须同时具备三点：①顶点在圆上；②一边和圆相交；③一边和圆相切．2．弦切角与它所夹的弧所对的圆心角之间有什么关系？提示：弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半．[研一题][例1]如图，AB、CB分别切⊙O于D、E，试写出图中所有的弦切角．分析：本题考查弦切角的定义．解答本题需要明确构成弦切角的三个条件，然后依据定义作出判断

2、．解：由弦切角的定义可知，∠ADE、∠BDE、∠BED、∠CED都是弦切角．[悟一法]解决此类问题的关键是把握弦切角的三个要素：(1)顶点在圆上(顶点为圆切线的切点)；(2)一边和圆相切(一边所在直线为圆的切线)；(3)一边和圆相交(一边为圆的过切点的弦)．三者缺一不可，例如上图中，∠CAD很像弦切角，但它不是弦切角，因为AD与圆相交，∠BAE也不一定是弦切角，只有已知AE切圆于点A，才能确定它是弦切角．[通一类]1．如图，NA与⊙O切于点A，AB和AD是⊙O的弦，AC为直径，试指出图中有哪几个弦切角？解：弦切角分三类：如题图：(1)

3、圆心在角的外部；(2)圆心在角的一边上；(3)圆心在角的内部．即∠BAN、∠CAN、∠DAN为弦切角.[研一题][例2]已知：AB切⊙O于A，OB交⊙O于C，AD⊥OB于D.求证：∠DAC＝∠CAB.分析：本题考查弦切角定理的应用．解答本题需要根据题意画出图形，然后利用相关定理解决．法三：如图，连接OA.∵AB切⊙O于A，∴OA⊥AB.∴∠CAB与∠OAC互余．又∵AD⊥OB，∴∠DAC与∠ACO互余．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO.∴∠DAC＝∠CAB.法四：如图，过C作⊙O的切线交AB于G∵AB是⊙O的切线，∠CAG＝∠ACG

4、，又∵OC⊥CG，AD⊥OB，∴CG∥AD.∴∠ACG＝∠DAC，即∠DAC＝∠CAB.[悟一法](1)由弦切角定理可直接得到角相等，在与弦切角有关的几何问题中，往往还需要借助其它几何知识来综合解答，由弦切角得到的角相等只是推理论证中的一个条件．(2)借助弦切角定理和圆的其他性质(如等弧所对的弦相等)以及三角形有关知识我们可以得到特殊三角形或全等三角形，从而证得线段相等．[通一类]2.如图，AB是半圆O的直径，C是圆周上一点(异于A、B)，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，垂足为D，AD交半圆于点E.求证：CB＝CE.证明：

5、法一：连接BE.因为AB是半圆O的直径，E为圆周上一点，所以∠AEB＝90°，即BE⊥AD.又因为AD⊥l，所以BE∥l.所以∠DCE＝∠CEB.因为直线l是圆O的切线，所以∠DCE＝∠CBE.所以∠CBE＝∠CEB.所以CE＝CB.法二：连接AC、BE，在DC延长线上取一点F.因为AB是半圆O的直径，C为圆周上一点，所以∠ACB＝90°，即∠BCF＋∠ACD＝90°.又因为AD⊥l，所以∠DAC＋∠ACD＝90°.所以∠BCF＝∠DAC.又因为直线l是圆O的切线，所以∠CEB＝∠BCF.又∠DAC＝∠CBE，所以∠CBE＝∠CEB.

6、所以CE＝CB.[研一题][例3]如图，梯形ABCD内接于⊙O，DC∥AB，AB＝AC，过A点作⊙O的切线与CD的延长线交于E.求证：AD2＝ED·EC.分析：本题考查弦切角定理，圆内接四边形、相似三角形等知识的综合应用，解答本题可转化为证明△EAD∽△ECA.证明：AE切⊙O于点A，∴∠EAC＝∠B(弦切角定理)，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC，又∵DC∥AB，∴四边形ABCE是平形四边形，∴∠E＝∠B.∵梯形ABCD内接于⊙O，∴∠ADE＝∠B，∴∠ADE＝∠E，∴AD＝AE.∵EA切⊙O于A，

7、∴∠EAD＝∠ACE，又∵∠E＝∠E，∴△EDA∽△EAC，∴EA2＝ED·EC，∴AD2＝ED·EC.[悟一法]充分利用圆周角定理、圆内接四边形的性质、平行四边形性质定理、弦切角定理等结论，架设与三角形有关问题的桥梁，证明三角形相似是解决此类问题的有效途径．[通一类]3．AB是圆O的直径，过A、B作两弦AC和BD相交于E，求证：AB2＝AE·AC＋BE·BD.证明：如图，AB是圆的直径．AC与BD相交于E，作EF⊥AB，F为垂足．∴∠EFB＝90°.连接BC，则∠ECB＝90°，∴E、F、B、C四点共圆．∴AE·AC＝AF·AB.①

8、同理A、D、E、F四点共圆．∴BE·BD＝BF·AB.②将①、②两式相加得AF·AB＋BF·AB＝AE·AC＋BE·BD＝AB2.弦切角定理在几何证明中有广泛的应用，高考中常与三角形相似、圆的切线等问题结合考查.2012