概率论与数理统计第12讲

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1、概率论与数理统计第12讲福建师范大学福清分校数计系1§3区间估计2对一个未知量,人们在测量或计算时,常不以得到近似值为满足,还需估计误差,即要求知道近似值的精确程度(亦即所求真值所在的范围).类似地,对于未知参数q,除了求出它的点估计外,还希望估计出一个范围,并希望知道这个范围包含参数q真值的可信程度.这样的范围通常以区间的形式给出,同时还给出此区间包含参数q真值的可信程度.这种形式的估计称为区间估计.3置信区间设总体X的分布函数F(x;q)含有一个未知参数q,q(Q是q的可能取值范围),对于给定值a(0

2、,X2,...,Xn确定的两个统计量q=q(X1,X2,...,Xn)和`q=`q(X1,X2,...,Xn)(q<`q),对于任意q满足P{q(X1,X2,...,Xn)

3、恰为1-a.此时去找区间(q,`q)使得P(q

4、样本,求m的置信水平为1-a的置信区间.解参数.8按标准正态分布的上a分位点的定义,有0a/2za/2a/2-za/29这样就得到了m的一个置信水平为1-a的置信区间常写成10如果取a=0.05,即1-a=0.95,又若s=1,n=16,查表得za/2=z0.025=1.96.于是得到一个置信水平为0.95的置信区间再者,若由一个观察值算得样本均值的观察值`x=5.20,则得到一个区间(5.200.49),即(4.71,5.69)11最后得到的区间(4.71,5.69)已经不是随机区间了,但我们仍称它为置信水平为0.95的置信区间

5、.其含义是:若反复抽样多次,每个样本值(n=16)按(4.7)式确定一个区间,按上面的解释,在这么多的区间中,包含m的约占95%,不包含m的约仅占5%.现在抽样得到区间(4.71,5.69),则该区间属于那些包含m的区间的可信程度为95%,或"该区间包含m"这一陈述的可信度为95%.12然而,置信水平为1-a的置信区间并不是惟一的.以上例来说,若给定a=0.05,则又有也是置信水平为0.95的置信区间.13而比较两个置信区间14易知,象N(0,1)分布那样其概率密度的图形是单峰且对称的情况,当n固定时,以形如(4.5)那样的区间其长

6、度为最短.我们自然选用它.通过上例,可看到求未知参数q的置信区间的具体做法如下(1)寻求一个样本X1,X2,...,Xn的函数:W=W(X1,X2,...,Xn;q),它包含待估的参数q,而不含其它未知参数,并且W的分布已知且不依赖于任何未知参数(当然不依赖于待估参数q);15(2)对于给定的置信水平1-a,定出两个常数a,b,使P{a

7、,...,Xn)都是统计量,那么(q,`q)就是q的一个置信水平为1-a的置信区间.函数W(X1,X2,...,Xn;q)的构造,通常可以从q的点估计着手考虑.常用的正态总体参数的置信区间可以用上述步骤推得.16§4正态总体均值与方差的估计17(一)单个总体N(m,s2)的情况设已给定置信水平为1-a,并设X1,X2,...,Xn为总体N(m,s2)的样本.`X,S2分别是样本均值和样本方差.1,均值m的置信区间(a)s2为已知,此时由例1采用(4.2)的函数,已得到m的置信水平1-a的置信区间为18(b)s2为未知,由第六章定理三

8、,知右边的分布t(n-1)不依赖于任何未知参数,可得190a/2a/2-ta/2(n-1)ta/2(n-1)20于是得m的一个置信水平为1-a的置信区间21例1从一大批糖果中随机取16袋,称得重量(克)为:506,508,499,50