机械振动-第06课多自由度系统的运动方程

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1、第七课多自由度系统的运动方程2021年9月20日单自由度系统回顾单自由度系统运动方程的建模牛顿第二定律（向量方法），达朗伯原理能量方法d(U+T)=0虚位移原理（虚功原理）单自由度系统固有频率计算方法根据运动方程能量方法Umax=Tmax单位加速度法初始条件下系统的运动方程单自由度系统回顾等效质量与等效刚度计算等效质量－－动能等效等效刚度－－势能等效阻尼自由振动三种阻尼类型（粘性，库伦，结构）阻尼比与临界阻尼，振动方程的解，初始条件下的响应对数衰减率测定系统阻尼粘性阻尼与库伦阻尼的衰减特征单自由度系统回顾简谐强迫振动简谐强迫振动的解，复指数法频响函数与频响特性曲线品质因数

2、与半功率带，半功率带法测量阻尼旋转失衡与基础振动引起的简谐强迫振动方程、频响函数积极隔振与消极隔振原理位移传感器与加速度传感器的频响特性单自由度系统回顾周期强迫振动与非周期强迫振动傅立叶级数，正弦、余弦激励函数的响应，线性叠加原理脉冲函数与脉冲响应卷积积分频响函数、脉冲响应函数与传递函数之间的关系本章主要内容3.1多自由度系统的运动方程3.2频率方程、振型与正则坐标3.3多自由度系统的振动响应3.4多自由度系统的数值计算方法3.1多自由度系统的运动方程牛顿第二定律矢量建模方法影响系数法刚度影响系数法柔度影响系数法Lagrange方程方法约束、自由度与广义坐标Lagrang

3、e方程建模方法牛顿第二定律建模这种用矩阵写出的运动微分方程与单自由度系统的运动微分方程非常相似。象例题中在各个离散质量上建立的坐标系为描述系统的物理坐标系，在此坐标下的系统质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵为系统的物理参数。多自由度系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵一般均是对称矩阵。根据上式得到列系统的运动微分方程的一种简单的方法：先求出系统的动能、势能和能量耗散函数，然后利用上式求出系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，最终求出系统的运动微分方程。这样的优点是，由于系统的动能、势能和能量耗散函数是标量，可以不考虑力的方向。3.1多自由度系统的运动方程牛顿第二定律矢量建模方法影响

4、系数法刚度影响系数法柔度影响系数法Lagrange方程方法约束、自由度与广义坐标Lagrange方程建模方法影响系数法影响系数法现分析求出图所示的三自由度系统的刚度矩阵。画出各物块的受力图根据平衡条件，有首先令在此条件下系统保持平衡，按定义需加于三物块的力刚度影响系数作用力方程画出受力图，则有同理，令画出受力图，有最后令因此刚度矩阵为刚度矩阵一般是对称的。实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即柔度影响系数位移方程当受到F1作用后，第一个弹簧的变形为，第二和第三个弹簧的变形为零。首先施加单位力这时三物块所产生的静位移分别是所以三物块的位移都是F1F1现分析求出图所示的

5、三自由度系统的柔度影响系数。第三个弹簧不受力，故其变形为零。因此有令F2第一和第二弹簧均受单位拉力，其变形分别为F3再令可得到系统的柔度矩阵为柔度矩阵一般也是对称的。实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即系统的柔度矩阵为对于图所示的系统，也可用柔度影响系数来建立其运动微分方程。系统运动时，质量的惯性力使弹簧产生变形应用叠加原理可得到写成矩阵形式位移方程是非奇异的，即的逆矩阵存在与作用力方程比较即当刚度矩阵是非奇异时，刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵；当刚度矩阵是奇异时，不存在逆矩阵即无柔度矩阵。此时系统的平衡位置有无限多或者说它有刚体运动。如图示系统具有刚体运动，柔度矩

6、阵不存在。柔度矩阵与刚度矩阵之间的关系3.1多自由度系统的运动方程牛顿第二定律矢量建模方法影响系数法刚度影响系数法柔度影响系数法Lagrange方程方法约束、自由度与广义坐标Lagrange方程建模方法约束、自由度与广义坐标约束、自由度与广义坐标约束、自由度与广义坐标约束、自由度与广义坐标Lagrange方程拉格朗日方程提供了解决有限自由度完整系统运动的一个普遍的简单而又统一的方法。虚位移qi是任意的，而且qi彼此独立的。著名的拉格朗日方程保守系统非保守系统解：取刚体质心O点偏离平衡位置的x、y和刚体绕质心的转角为广义坐标，即例题图示的刚体由四根拉伸弹簧支承，被限制

7、在图示平面内运动。图示位置为平衡位置。且质量为m，转动惯量IO。试导出微幅运动微分方程。并且四根弹簧端点的坐标分别为系统的动能为系统的势能为计算拉格朗日方程中各项导数拉格朗日方程代入拉格朗日方程，得系统运动微分方程为Lagrange方程建模练习不考虑阻尼和外激振力，建立如下二自由度系统的运动微分方程：Lagrange'sequationsforanonconservativesystemExampleUsingLagrange'sequationstoderivethedifferentialequationsgovernin