多自由度系统的运动方程课件

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1、单自由度系统回顾单自由度系统运动方程的建模牛顿第二定律（向量方法），达朗伯原理能量方法d(U+T)=0单自由度系统固有频率计算方法根据运动方程能量方法Umax=Tmax单位加速度法初始条件下系统的运动方程多自由度系统单自由度系统回顾单自由度系统回顾等效质量与等效刚度计算等效质量－－动能等效等效刚度－－势能等效阻尼自由振动三种阻尼类型（粘性，库伦，结构）阻尼比与临界阻尼，振动方程的解，初始条件下的响应对数衰减率测定系统阻尼粘性阻尼与库伦阻尼的衰减特征多自由度系统单自由度系统回顾单自由度系统回顾简谐强迫振动简谐强迫振动的解，

2、复指数法频响函数与频响特性曲线品质因数与半功率带，半功率带法测量阻尼旋转失衡与基础振动引起的简谐强迫振动方程、频响函数多自由度系统单自由度系统回顾多自由度系统的运动微分方程牛顿第二定律矢量建模方法影响系数法刚度影响系数法柔度影响系数法Lagrange方程方法约束、自由度与广义坐标Lagrange方程建模方法多自由度系统多自由度系统的运动微分方程牛顿第二定律建模多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--牛顿第二定律建模多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--牛顿第二定律建模多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--牛顿第

3、二定律建模这种用矩阵写出的运动微分方程与单自由度系统的运动微分方程非常相似。象例题中在各个离散质量上建立的坐标系为描述系统的物理坐标系，在此坐标下的系统质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵为系统的物理参数。多自由度系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵一般均是对称矩阵。多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--牛顿第二定律建模多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--牛顿第二定律建模根据上式得到列系统的运动微分方程的一种简单的方法：先求出系统的动能、势能和能量耗散函数，然后利用上式求出系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，最终求出系统

4、的运动微分方程。这样的优点是，由于系统的动能、势能和能量耗散函数是标量，可以不考虑力的方向。多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--牛顿第二定律建模多自由度系统的运动微分方程牛顿第二定律矢量建模方法影响系数法刚度影响系数法柔度影响系数法Lagrange方程方法约束、自由度与广义坐标Lagrange方程建模方法多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--牛顿第二定律建模影响系数法多自由度系统多自由度系统的运动微分方程—影响系数法影响系数法多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--影响系数法现分析求出图所示的三自由度系统的刚

5、度矩阵。画出各物块的受力图根据平衡条件，有首先令在此条件下系统保持平衡，按定义需加于三物块的力刚度影响系数作用力方程多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--影响系数法画出受力图，则有同理，令画出受力图，有最后令多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--影响系数法因此刚度矩阵为刚度矩阵一般是对称的。实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--影响系数法柔度影响系数位移方程多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--影响系数法当受到F1作用后，第一个弹簧的变形为，第二和第三个弹簧的变

6、形为零。首先施加单位力这时三物块所产生的静位移分别是所以三物块的位移都是F1F1现分析求出图所示的三自由度系统的柔度影响系数。多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--影响系数法第三个弹簧不受力，故其变形为零。因此有令F2第一和第二弹簧均受单位拉力，其变形分别为多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--影响系数法F3再令可得到系统的柔度矩阵为多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--影响系数法柔度矩阵一般也是对称的。实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即系统的柔度矩阵为多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--影响

7、系数法对于图所示的系统，也可用柔度影响系数来建立其运动微分方程。系统运动时，质量的惯性力使弹簧产生变形应用叠加原理可得到多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--影响系数法写成矩阵形式位移方程是非奇异的，即的逆矩阵存在与作用力方程比较多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--影响系数法即当刚度矩阵是非奇异时，刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵；当刚度矩阵是奇异时，不存在逆矩阵即无柔度矩阵。此时系统的平衡位置有无限多或者说它有刚体运动。如图示系统具有刚体运动，柔度矩阵不存在。柔度矩阵与刚度矩阵之间的关系多自由度系统多自由度系统的

8、运动微分方程--影响系数法例试求图示悬臂梁的柔度影响系数，并建立其位移方程。(梁的弯曲刚度为EI，其质量不计)解：取y1、y2为广义坐标，根据柔度影响系数的定义，表示在m1处施加单位力(沿y1方向)并在m1处产生的位移。表示在m2处施加单位力(沿y2方向)并在m2处产生的位移。有按材料力学的挠度公式，则有多自由度系统