哈尔滨工程大学-场论

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1、第0章场论（FIELD）目的：场论是描述物理流动的数学工具。内容：介绍力学中常用的场论知识。场：具有物理量的空间。流场：充满流体物理量的空间。xyzM(x,y,z)物理量作为空间点位置M和时间t的函数，t作为参变量。流体力学中常见的物理量densitytemperaturepressurestressvelocitystrain向量场（函数）标量场（函数）张量场（函数）field1:1func.xyzM(x,y,z)rospacepoint向量(vector)：3个元素表示的既有大小又有方向的量0.1标量、向量、张量（1）概念标量（scalar）：1个元素表示的只有大小没有方向的量二阶张量（t

2、ensorof2ndorder）：9个元素表示的量n阶张量（tensorofnthorder）：3n个元素表示的量（2）场的几何描述标量场的等值线（面）：时刻场中数值相同的点组成的曲面。（c值不同对应不同等值面）等值面其方程为等值线在某一高度上沿什么方向高度变化最快？表示标量在场中的分布。向量场的向量线：向量线上每一点处曲线与对应于该点的向量相切。描述向量在场中的分布。向量线连续分布，一般互不相交。向量线微分方程：M点位置向量线l微段向量（场）图0.1.2向量线arMxyzol(1)Einstein求和符号：式子中成对出现的哑指标。0.2向量及张量的基本运算0.2.1向量运算符号规定式中i,j

3、是自由指标，表示坐标方向。可写作:任意两个正交坐标轴单位向量的点积(2)Kroneckerδ符号：δ参与表达式运算的结果：冲掉一个自由指标置换法则：3个自由指标顺时针排列为正，否则为负。任意2个自由指标对换后差一个负号，如式中i,j是自由指标，称为置换符号。(3)Ricci（置换）符号：任意两个正交单位向量的叉积和δ符号之间有关系两个自由指标相同，如自由指标偶次置换，如自由指标奇次置换，如1320.2.2向量运算的常用公式（1）（2）（3）（4）（5）（6）0.2.3向量分量的坐标转换讨论新、老坐标轴中单位向量及向量分量之间的转换关系。(i,j=1,2,3)或表0.1坐标轴间方向余弦又点乘得

4、单位向量之间的转换关系：即可得如下六个关系式或向量分量之间的转换关系：表0.1坐标轴间方向余弦a与坐标系无关，有0.2.4二阶张量及其基本运算式中是二阶张量的基二阶张量是两个向量的并积。表示为二阶对称张量各元素关于主对角线对称，只有六个独立分量。二阶反对称张量主对角线分量为零，只有三个独立分量。二阶张量及其基本运算规则①②③④⑤二阶张量的坐标变换()()eg.方向导数：l方向单位向量0·3标量场的方向导数和梯度剃度表示物理量在一点邻域内的变化。M0Mdl（1）梯度的定义Hamilton算子（Nabla）记M0Mdl则当,即与方向一致时,为最大。注：算子具有微分和向量双重运算性质，适用于任意正交

5、坐标系，在不同坐标系中表达形式不同。推导或证明公式时用直角坐标系简便。剃度、方向导数与等值面梯度(Gradient)高度场的梯度与过该点的等位线垂直；数值等于该点的最大方向导数；（2）梯度的物理意义标量场的梯度是一个向量,是空间坐标点的函数;梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向.梯度的大小为该点标量函数的最大变化率，即该点最大方向导数;例1三维高度场的梯度与过该点的等高线垂直；数值等于该点位移的最大变化率；指向地势升高的方向。图三维高度场的梯度例2电位场的梯度电位场的梯度指向电位增加的方向。图电位场的梯度②梯度垂直于标量φ的等值面，且指向φ增大

6、的方向。（3）梯度的应用（性质）①梯度在方向的投影等于标量φ在该方向的方向导数计算增量计算曲面法线由梯度可计算物理量φ沿l方向经过dl距离的增量。剃度、方向导数与等值面（为常数）①②④⑤（为常数）③（5）向量的梯度是一个二阶张量（4）梯度运算的基本公式Example0.2Given:Prove:Example0.1：求曲面的法线单位向量Solution:Solution:（书p4）称为向量a通过曲面S的通量。若a为流速v，Q＝流量。0·4向量场的通量和散度通量：在向量场a中曲面S的法向量为n，则图0.4.1通量Sl物理量的散度可用来判别向量场是否有源。若S为闭合曲面，可根据净通量的大小判断闭合

7、面中源的性质:>0(有正源)<0(有负源)=0(无源)若向量场中•a=0，称之为有源场，称为源（强）密度；若向量场中处处•a=0，称之为无源场。散度的物理意义散度代表向量场的通量源的分布特性•a==0(无源）•a=<0(负源，汇)•a=0(正源)向量的散度是一个标量，是空间点的函数；它表示单位体积内向量通过其表面的通量。散度:若包围点M的闭合面S所围体积V以任意方