2015届高三文科数学立体几何空间角专题复习

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1、2015届高三文科数学立体几何空间角专题复习考点1：两异面直线所成的角例1.如图所示，在长方体中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点（Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M1例2.（2010全国卷1文数）直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于（C）(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°变式训练：1.（2009全国卷Ⅱ文）已知正四棱柱中，=，为中点，则异面直线与所形成角的余弦值为(C)（A）(B)(C)(D)2.如图，直三棱柱，，点、分别是、的中点，15，则与所成角的余弦值是（）．．．．3.（2012年高考（陕

2、西理））如图,在空间直角坐标系中有直三棱,,则直线与直线夹角的余弦值为（　　）A．B．C．D．第3题图第4题图第5题图4．(2007全国Ⅰ·文)如图，正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．5.（2012年高考（四川文理））如图,在正方体中,、分别是、的中点,则异面直线与所成角的大小是____________.90º6.（2011年全国二文15）已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________．7.已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是。8（2011年上海文）已

3、知是底面边长为1的正四棱柱，高，求（1）异面直线与所成角的余弦值；（2）四面体的体积.15考点2：直线与平面所成的角例3.正方体-中，与平面所成角的余弦值为（D）（A）（B）（C）（D）例4.（2011年天津文17）如图1－7，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．(1)证明PB∥平面ACM；(2)证明AD⊥平面PAC；(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．图1－7图1－8【解答】(1)证明：连接BD，MO.在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中

4、点．又M为PD的中点，所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM.(2)证明：因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.(3)取DO中点N，连接MN，AN.因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN＝PO＝1.由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝，所以DO＝.从而AN＝DO＝.在Rt△ANM中，tan∠MAN＝＝＝，即直线AM与平面

5、ABCD所成角的正切值为.变式训练9.（20008福建卷理）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(D)A.B.C.D.第9题图第10题图第11题图1510.（2010四川文理15）如图，二面角的大小是60°，线段.，与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是.11.已知长方体中，求直线与平面所成的角。12.如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.13.【2012高考天津文科17】（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-

6、ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2.（I）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（II）证明平面PDC⊥平面ABCD；（III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。15【解析】（I）是与所成角在中，异面直线与所成角的正切值为（II）面面平面平面（III）过点作于点，连接平面平面面是直线与平面所成角在中，在中，得：直线与平面所成角的正弦值为14.【2012高考湖南文19】（本小题满分12分）如图6，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.（Ⅰ）证明：BD⊥PC；（Ⅱ）若AD=4，BC=2

7、，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积.[中国^教*~育出#版%【答案】【解析】（Ⅰ）因为又是平面PAC内的两条相较直线，所以BD平面PAC，而平面PAC，所以.15（Ⅱ）设AC和BD相交于点O，连接PO，由（Ⅰ）知，BD平面PAC，所以是直线PD和平面PAC所成的角，从而.由BD平面PAC，平面PAC，知.在中，由，得PD=2OD.因为四边形ABCD为等腰梯形，，所以均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD的高为于是梯形ABCD面积在等腰三角