《理学总复习上》ppt课件

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1、总复习一、极限与连续1.求极限⑴无理函数的极限——有理化例1求极限解例2求极限解⑵两个基本极限①变形:②变形:类型:例3求极限解⑷无穷小与等价无穷小基本等价无穷小当时等价无穷小代换若则例4求极限解—法则例5求极限解—法则例6确定使解由条件得:从而极限为未定式.所以—法则由条件得:所以即:例7已知当时,则.解因而所以2.连续函数定义函数在点处连续等价条件函数在处连续间断点的分类.设为的间断点:则为可去间断点;则为跳跃间断点;存在,第一类;其余为第二类间断点.闭区间上连续函数的性质.⑴最大值和最小值定理⑵有界性定理⑶零点定理⑷介值定

2、理例8设函数问当为何值是,在处连续,当为何值时,是的可去间断点.解左极限:右极限:由条件:若函数连续,即即:可去间断点,即即:例9设函数在的某个邻域内有连续的二阶解由条件得:得导数,且的一组使得证明存在惟一对上式由罗必达法则,得分别得到:及因三阶行列式:知方程的解是惟一的.例10设证明:使得证令分别为函数在区间上的最小和最大值,即:则有:由介值定理知:使得,从而有:证2令则满足柯西中值定理的条件,且所以二、一元函数微分学1.导数的定义及几何意义⑴导数定义变形:若则:⑵几何意义函数在一点的导数为对应的曲线在该点的切线的斜率.切线方

3、程:法线方程:⑶可导与连续的关系:可导必连续.例11已知求:解例12设求解由函数的表达式知:函数在点处连续,而在点当时,处间断.求出函数在各段的导数.当时,当时,在点处,所以,由此得:例13设函数在区间上有定义,且满足:求解由条件得又:由夹逼定理得:所以当时,由夹逼定理得:所以当时,即:2.导数计算⑴导数的基本公式;⑵求导法则:复合函数求导:设为可导函数,则反函数求导:设是函数的反函数,则隐函数求导及对数求导法:由参数方程确定的函数的导数:设则高阶导数及高阶导数的莱伯尼茨公式:例14设求解两边取对数,得求导得:所以:例15求由参

4、数方程解由求导公式得:所确定函数的二阶导数.例16求函数解令由对数求导法得:所以的微分.3.中值定理⑴罗尔定理设函数则存在使得⑵拉格朗日中值定理设函数且则至少存在一点使得⑶柯西定理如果函数在闭区间上连续,在开区间内可导,并且在开区间内那么至少存在一点使得例17设函数且证明存在使得:证由积分中值定理,存在有令:则且由罗尔定理,知存在使得又即有:例18设且若极限存在,证明⑴在内,⑵在内存在使得⑶在内存在与⑵相异的使证由条件极限存在及函数的连续性,得又得是单调增加的.从而⑵令则函数满足柯西定理条件,由定理得:使得即:⑶因在区间中使用拉

5、格朗日中值定理,存在再由⑵,使得即:3.罗必达法则⑴基本类型⑵变型Ⅰ⑶变型Ⅱ法则:例19求极限解例20求极限解作变换则例21求极限解作变换令则所以即例22求极限解令则再令则所以例23设连续,记证明为连续函数.证当时,为连续函数,当时,即:为连续函数.4.泰勒公式定理如果函数在含的某个开区间内具有直到阶导数,即其中:那么对于有这里,是与之间的某个值.当时,上式为例24将展开成的多项式.解代入公式得例25将型余项的泰勒公式.解所以在点处展开成带有佩亚诺5.曲线形态讨论⑴单调性研判及求单调区间;⑵极值及极值的求法:极值存在的必要条件:

6、可导的极值点为驻点.极值存在的第一充分条件:导函数在该点两侧异号,则该点为函数的极值点.极值存在的第二充分条件:若函数在点处连续,若函数在点处满足:则该点为函数的极值点.⑶凹凸性的判定及求凹凸区间:若函数满足:对区间上的所有点都有:则称函数为区间内的凸函数,如果对任意的及任意的都有则称函数为区间上的凹函数.前者所对应的曲线称为是下凸的,后者所对应的曲线判定若函数满足:则函数为凸函数,对应的曲线为下凸的;则函数为凹函数,对应的若曲线在曲线上某点的两侧有不同的凹凸向,则该点成为是上凸的.曲线为上凸的.称为曲线的拐点.⑷渐进线设曲线若

7、:则曲线有水平渐进线若:则曲线有垂直渐进线若:则曲线有斜渐进线例26已知函数求⑴函数的单调区间和极值;⑵函数的凹凸区间和拐点;⑶渐进线.解函数的定义域为列表:极小值在区间内,曲线为上凸的;在区间内,曲线是下凸的.曲线的拐点为函数的极小值为因曲线有垂直渐进线:因曲线有斜渐进线:例27证明当证令则且所以是单调增加的.从而有时有:故是单调增加的.由此得即:5.曲率与曲率半径设曲线则在点处的曲率为参数方程情况下,曲率半径为三、一元函数积分学1.原函数与不定积分若函数满足:的原函数.则称为函数的原函数的全体称为函数的不定积分.记为例28设

8、的原函数为求解由上式得:2.不定积分方法⑴第一类换元积分法若则⑵第二类换元积分法注意四种常见类型和代换方式.⑶分部积分法⑷其它积分方法①有理函数积分:部分分式法.②三角函数积分:万能代换及特殊代换.例29求下列积分⑴解⑵解⑶解⑷解⑸设求解令所以⑹解令则所以2.定