正态分布的共轭分布及贝叶斯估计

《正态分布的共轭分布及贝叶斯估计》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、正态分布的共扼分布及贝叶斯估计正态分布的共辘分布及贝叶斯估计洪锡熙厦门大学计划统计系摘要产,,以及对正态总体本文介绍含有一个或两个未知参数的正态分布帕的共耗分布的未知参数进行佑计的贝叶斯方法。,,,,关键词正态分布共扼先验后验分布密度设总体分布的参数或参数向量为夕,夕是随机变量或随机向量并有先验分布密度二。,,,,,。的又设样本了一⋯在给定夕条件下的联合分布密度为尸根据贝叶斯公式,的后验分布密度为二,夕,。·“,”“,“丁。,其中口为参数空间因为式中的积分是与无关的常数故式可改写为夕,二夕‘夕“”“”。,夕变化

2、时‘,式中记号读作正比于若’的观测值已得到则当的就是的函数称,‘。为似然函数记作夕于是式又成为‘‘夕二夕夕以下我们将主要利用式进行讨论。此外,我们称分布密度被略去常数因子后余下的部分为“”。,“。该分布的核例如正态分布产卯的核是一一川列产和沪已给定显然从核的形式就可知道分布的类型而利用分布密度在全空间各积分为的性质容易得回被略去的常数因子。利用贝叶斯方法估计总体参数,首先必须选择合适的先验分布。解决这个问题的方法之一是寻求总体分布的共扼分布,即那种能使后验分布与它有相同分布类型的先验分布。本文分三种情形介绍正态

3、分布的共扼分布及正态参数的贝叶斯估计。、,一均值产未知方差沪已知的情形。,,,,,,,这时要估计均值产设来自正态总体产必甲已知的样本是了一⋯则在给定产条件下样本的联合分布密度,产二一”,,一’沪卯一艺产‘一艺一产沪数理统计与管理卷期年月。,,取正态分布产件为产的先验分布则二产一‘,产一’乳吼犷一八,产根据式的后验分布密度‘二‘二‘产产产产产。“·,一产一产乳一艺一产甲产,、,。,。、,全对产八一几一二丁忆气万万十二少产一乙气二二一二二夕产十二丁十乙乳岁转甲转,。一‘。件一乏产无关的常数又令其中艺注意到一风矛妇是

4、与丢鲁和,丫半,‘八一二则“川,‘一‘声一灿,,。,‘一,一川最后一式恰为瓮爹呵,,,。。,正态分布产叭的核立知产的后验分布是产乳故先验分布产外是正态分布。脚卯甲已知的共扼分布产,,产,产我们可用后验分布的均值来估计即有川还可以给出的置信概率为一,,一,,一。的最大后验密度区间,一,、,,吮〔〕即断言,次概率一。而而落在该区间。,,,,,。。例设总体一产由样本’⋯的个观测数据算得一尸,产假定根据经验有产一则可以对作如下推断,,,。取外’“·的先“分“则一‘。‘’嚣···一‘,‘’一故有髯尸。。。。。一一。探而尸

5、,上式与已知的产等价因此得产。。一一和,而探产。一,乳,。产,。解之得可见的先验分布是于是有一‘一‘·。‘,叭一十一十万一。而下了而万百、只一肠乳叭入二二二下二一。十沪住,。,因此产的后验分布是,产的估计值是川一产一产的肠置信概率的后验是—一丫产甲产〔〕是最大密度区域,本文中指最大密度区间,即满足一的所有区间。。中长度最短的一个。卜是正态分布的‘一分位数号正态分布的共扼分布及贝叶斯估计、,二均值产已知方差甲未知的情形甲。产,产、,,,。,这时要估计方差设来自总体妇已知的样本是一⋯则在给定甲条件下样本的联合分布密

6、度,二、“叻抓一乏一产尹一王、一’,令川就有尹‘,,,,卯二抓一卯沪,。,为选取的先验分布考虑一个自由度为的尹变量右其分布密度为,,,、,‘,、,一。‘盯’一“气一花二心泞不画灭而丽乙若令一店,则甲有分布密度·,。,,、,一,一只落万不石「气不汉叮一。‘“‘戈一‘少甲“一。‘万令奋‘火尾夕护。,一。。。,一’称甲遵从自由度为的逆尹分布记为甲一又若甲一甲是常数则记势。,沪易知的分布密度是乏。‘。‘。二卜一甲叻泛。厂“,,、厂叻。。,。一‘。一〕。其均值帕方差妙若〔一,。少,,尹取为的先验分布根据式一的后验分布密度

7、‘‘‘泛。”,,一‘。甲叻尹厂一甲,。,。,令则有‘止‘,甲厂卜一叻一。一“。,可见沪的后验分布是故先验分布是正态分布产妇产已知的共扼分。‘,布沪的估计值是列一一而少的后验可以通过查逆丫分布表计算得到。,,一,,⋯,。艺例设总体种由样本了的个观测值计算得一亡‘,,。一。一又由经验知中的均值是标准差是我们可对尹作如下推断沪一。,。。一和妇含〔。。取的先验分布为则由卯无一快一。,。。。,,。〕可解得于是。一“。‘,,因此尹的后验分布是沪的估计值是沪一一。,,,,之由置信概率和自由度从逆分布表见表查得就笋,。知的铸置

8、信概率的后验为尹尹佘卜获数理统计与管理卷期年月、产三均值和方差甲均未知的情形。,,,,。,这时要估计产和甲设来自参数均未知的总体产卯的样本是了一⋯则在给定产和甲条件下样本的联合分布密度,,二,‘、’,‘,,。一‘。一‘一‘一,,,氢·‘,‘,厂一全〔一王王一,〕一·‘‘‘一、一‘一〔‘一王,‘,一王,〕氢”,,’一〔产一王〕甲、,、。茸中王一生宝一全一王趁正一华卜一’。,而川华,。,。