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1、第14卷第4期工 科 数 学Vol.14,No.41998年8月JOURNALOFMATHEMATICSFORTECHNOLOGYAug.1998截尾试验下指数分布的贝叶斯估计汤胜道(华东冶金学院基础课部,马鞍山243000)摘要 在指数分布场合,定数或定时截尾试验,文[1]给出了参数K在先验分布为#(A,B)分布的假设下的Bayes估计.文[3]给出了在平方损失下的Bayes估计.本文讨论先验分布为B(a,b)分布时,参数K的Bayes估计.关键词 先验分布 截尾试验 Bayes估计中图法分类号 O21312一、产品的寿命分布及试验模型(É)产品的失效时间T的分布设产品的寿命服
2、从指数分布,密度函数为-Ktf(t)=Ke(t≥0,K>0).(Ê)K的先验分布为B(a,b,K)分布,即1a-1b-1P(K)="(a,b,K)=K(1-K)(K>0;a,b>0).(111)"(a,b)引理1M12(n,无,r)n个产品.无替换定数截尾试验.r个失效,失效时间分别为t1≤t2≤⋯≤tr,则它们的联合条件密度为r-Ksf1(t1t2⋯tröK)=n!ö(n-r)!Ke1(K>0),(112)其中s1=t1+t2+⋯+tr+(n-r)tr.引理2M22(n,有,r)子样容量为n,定数截尾为r的有替换定数截尾试验,则(t1⋯tr)的联合条件密度为r-Ksf2(t1⋯
3、tröK)=(Kn)e2(K>0)(113)其中 s2=ntr.引理3M32(n,无,S)n个受试产品,无替换定时截尾试验,其失效时间分别为t1≤t2≤⋯≤tr≤S,则(t1t2⋯tr)的联合条件密度为r-Ksf3(t1t2⋯tröK)=n!ö(n-r)!Ke3(K>0)(114)r其中s3=∑ti+(n-r)S.i=1引理4M42(n,有,S),则(t1⋯tr)的联合条件密度为r-Ksf4(t1t2⋯tröK)=(nK)e4(K>0),(115)其中s4=nS.以上引理的证明见文[2].定理1设总体服从指数分布,参数K的先验分布为"(a,b,K)分布,则在试验M1下(É)若损失
4、函数为平方损失,则K的Bayes估计为©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.第4期 汤胜道:截尾试验下指数分布的贝叶斯估计127b-1b-1Ka+r+k+1∑(-1)#(a+r+k+1)ös1uk=0kK1==b-1.b-1k#(a+r+k)∑(-1)(a+r+k)k=0ks1uu-2lu2(Ê)若取损失函数为L(K1,K)=K1K(K1-K)(-∞0,则K的Bayes估计为b-1b-1ka+r+l+k+2∑(-1)·#(a+r+l+k+2)ös1uk=
5、0kK1=b-1.b-1k(a+r+l+k+1)a+r+l+k+1∑(-1)#ösk=0k证 由(111),(112)式可知,(t1t2⋯trK)的联合密度函数为a+r-1b-1-Ksf1(t1t2⋯trK)=P(K)õf1(t1t2⋯tröK)=n!ö(n-r)!B(a,b)·K(1-K)e1(K>0).因而(t1t2⋯tr)的边际密度函数为∞∞n!a+r-1b-1-Ksg1(t1t2⋯tr)=f1(t1t2⋯trK)dK=K(1-K)e1dK(K>0).∫0(n-r)!B(a,b)∫0b-1b-1b-1kk利用(1-K)=∑(-1)K,得k=0kb-1n!b-1k#(a+r+
6、k)g1(t1t2⋯tr)=(n-r)!"(a,b)∑(-1)a+r+k.k=0ks1故K的后验分布为f1(t1t2⋯trK)h1(Köt1t2⋯tr)=g1(t1t2⋯tr)a+r-1b-1-KsK(1-K)e1=b-1(K>0).b-1k#(a+r+k)∑(-1)a+r+kk=0ks1在平方损失下,K的Bayes估计为∞a+rb-1-Ks∞∫K(1-K)e1dKu0K1=∫Kh1(Köt1⋯tr)dK=b-10b-1k#(a+r+k)∑(-1)a+r+kk=0ks1b-1b-1ka+r+k+1∑(-1)#(a+r+k+1)ös1k=0k=b-1.b-1ka+r+k∑(-1)#
7、(a+r+k)ös1k=0kuu-2lu2若取损失函数L(K1,K)=K1K(K1-K),考虑∞a+r+l-1b-1-Ks∞∫K(1-K)e1dKll0E(Köt1t2⋯tr)=∫Kh1(Köt1t2⋯tr)dK=b-10b-1k#(a+r+k)∑(-1)a+r+kk=0ks1b-1b-1ka+r+k+l∑(-1)#(a+r+l+k)ös1k=0k=b-1,b-1ka+r+k∑(-1)#(a+r+k)ös1k=0kuu由L(K1,K)的表达式可知,估计K1的后验风险为:©1995
